Wie rechnet denn ein Computer mit Gleitkommazahlen?

Bevor richtig los gelegt werden kann, ist es noch wichtig einen Fachbegriff aus der Mathematik und Informatik, die Mantisse zu verstehen.

Definition:

Die Mantisse (auch Signifikand genannt) ist der Teil einer Gleitkommazahl, der die signifikanten Stellen der Zahl enthält – also die tatsächlichen Ziffern ohne die Exponentialskalierung. Beispiel: Die Zahl \( 3,1415 * 10^2 \) hat:

• Mantisse: 3,14153
• Exponent: 2
• Basis: 10

Im binären System (z. B. in der Informatik nach IEEE-754): Eine Gleitkommazahl wie \( 1,101 * 2^3\) hat: 

• Mantisse: 1,1011
• Exponent: 3
• Basis: 2

Wichtig:

• Die Mantisse gibt die Genauigkeit der Zahl an.
• Der Exponent verschiebt das Komma (Skalierung).
• Die Basis ist meist 10 (Dezimalsystem) oder 2 (Binärsystem).

Wie arbeitet die binäre Gleitkomma Arithmetik?

Die binäre Gleitkomma-Arithmetik ist ein Verfahren zur Darstellung und Berechnung von nicht-ganzzahligen Zahlen (z. B. Dezimalzahlen) im Binärsystem, wie es in Computern verwendet wird. Sie folgt meistens dem IEEE 754-Standard, der festlegt, wie solche Zahlen im Speicher repräsentiert und wie mit ihnen gerechnet wird.

Grundidee

Eine Gleitkommazahl wird wie folgt dargestellt

\(Wert = (-1)^s * 1.Mantisse *2^{Exponent} \)

• s: Vorzeichenbit (0 = positiv, 1 = negativ)
• Mantisse (auch Signifikand): Binärbruch mit führender 1 (normalisiert
• Exponent: Skaliert die Zahl durch eine Zweierpotenz (wird mit einem Bias gespeichert)

Aufbau im IEEE 754 Standard (z. B. 32-bit „Single Precision“)

Beispiel:

Die Gleitkommazahl -6.75 wird so gespeichert:

1. Binär: -6,75 = -110,11 = -1,1011 * 2²
2. Vorzeichen: 1
3. Exponent: 2 → 2 + 127 = 129 → binär 10000001_bin
4. Mantisse: Nach dem führenden 1. die restlichen Bits: 101100....._bin

Rechenregeln bei Arithmetik

Addition/Subtraktion:

1. Exponenten angleichen (kleinere Zahl wird verschoben)
2. Mantissen addieren oder subtrahieren
3. Ergebnis normalisieren
4. Runden
5. Überlauf/Unterlauf behandeln

Multiplikation:

1. Mantissen multiplizieren
2. Exponenten addieren
3. Vorzeichen berechnen
4. Normalisieren & runden

Beispiel: 1.5+2.25

1. Binär:
   • \(1,5 = 1.1 = 1.1 * 2^0\)
   • \(2,25 = 10.01 = 1.001 *2^1 \)
2. Exponenten angleichen:
   • \(1,5 = 1.1 = 1.1 * 2^0 = 0.11 *2^1\)
   • Jetzt sind beide Exponenten 1
3. Beide Mantissen addieren:
   • \(0.11 + 1.001 = 1.111\)
4. Ergebnis:
   • \(1.111 * 2^1 = 11.11 = 3,75 \)

Typische Probleme

• Rundungsfehler: Nicht alle Dezimalzahlen lassen sich exakt binär darstellen (z. B. 0.1).
• Überlauf: Zahl zu groß → Unendlich (Inf)
• Unterlauf: Zahl zu klein → Null oder Subnormalzahl
• Vergleichsprobleme: == kann fehlschlagen wegen Rundungen

Beispiel:

Die Dezimalzahl -6,75 soll in eine  IEEE 754 konforme (Single Precision, 32 Bit) Zahl umgewandelt werden.

1. Vorzeichenbit
   • Die Zahl ist negativ → Vorzeichenbit = 1
2. Umwandlung in Binärform
   -6,75 → binär:
   • \( 6 = 110 \)
   • \(0,75 = 0.11 → 0,75 = 0,5 + 0,25 = 2^{-1} + 2^{-2} \)
     Daraus folgt: 6,75 = 110.11 = 1.1011* 2²
3. Exponent + Bias
   IEEE 754 verwendet einen Bias von 127 für 32 Bit:
   • Exponent = 2
   • Exponent mit Bias: 2+127=129
   • Binär: → 129 = 10000001
4. Mantisse
   • Es werden nur die Nachkommastellen der normalisierten Zahl 1.1011 gespeichert
   • Mantisse ist 10110000000000000000000_bin (auf 23 Bit aufgefüllt)
     
     

Zusammensetzen

Daraus fogt: 1 10000001 10110000000000000000000_bin

→ Hexadezimal

Gruppieren in "Quadrupel"

1100 0000 1101 1000 0000 0000 0000 0000_bin → C0D80000_hex

Wer noch mit dem binären Zahlensystem Probleme hat, sei hier noch auf die Blogbeiträge Zahlensysteme und Grundrechnungsarten verwiesen.