Hallo auf dem nutronix Mathematik Blog.

Liebe Leser:innen, wie eingangs in meinem Prolog angeführt, ist es meine Intention auf der 1Atelefon.at Website meine Hobbys, Interessen und auch Projekte einer größeren Leserschaft zugänglich zu machen. Da ich in meiner beruflichen Ausbildung immer wieder mit dem Thema Mathematik konfrontiert war, hat sich im Laufe der Jahre bei mir ein besonderes Interesse an Mathematik heraus kristallisiert. Natürlich bin ich deswegen kein Mathematiklehrer, habe Mathematik auch nicht studiert und werde deshalb hier auch keinen Mathematikunterricht abhalten und vor allem will ich schon gar nicht andere Leute belehren. Mein Ziel ist es junge Leute, die vielleicht beabsichtigen einen MINT Beruf zu ergreifen für Mathematik zu begeistern oder vielleicht die Eine oder Anderen mit möglicherweise vorhandenen Verständnisproblemen in Mathematik ermutigen diese Defizite zu beheben. Oft hilft es dann wenn jemand anders, aus einer anderen Perspektive das Problem zu erklären versucht oder vielleicht auch nur etwas mehr Geduld mitbringt. Wer aber Mathematik in kurzer Zeit lernen möchte, dem rate ich einen Mathematik Kurs zu besuchen. Natürlich gibt es noch viele andere Möglichkeiten, wie beispielsweise den Besuch von HTL, HAK Abendschulen. Wer vielleicht nur einzelne Themenbereiche der Mathematik auffrischen möchte, für den gibt es auch hervorragende Video- Tutorials, mit denen mögliche Defizite ausgebügelt werden können.
In meinem Fall hat sich das Interesse an Mathematik imLaufe der Zeit entwickelt. Zu Hauptschulzeiten waren Mathematik, Physik und Chemie schon auf der Liste meiner Lieblingsfächer. im Gegensatz zu anderen Lernfächern war ich in der Lage, ohne mich grob anstrengen zu müssen, gute Erfolge zu liefern. In der Lehrausbildung (Berufsschule) gab es natürlich auch den Fachgegenstand Mathematik. Hier hat sich allerdings alles um die Grundlagen der Elektrotechnik und deren mathematischen Zusammenhänge gedreht. Wollte man nicht alles nur stur auswendig lernen, war es ein Vorteil wenn man auch die mathematischen Zusammenhänge verstanden hat. Das war dann auch die Zeit in der ich mich mit Mathematik schon etwas mehr auseinander setzte. Mit der Vorbereitung zur Meister / Unternehmerprüfung und auch die Vorbereitung zur zweiten Dienstprüfung war dann schon eine andere Dimension. Zu der Zeit habe ich auch realisiert, dass Mathematik weitaus mehr als die Grundrechnungsarten zu bieten hat und habe angefangen mich mit Mathematik intensiver zu befassen. Dabei habe ich auch so manches Mathematik Lehrbuch in meiner Freizeit durchgearbeitet, um an den Level von AHS bzw. HTL Absolventen heran zu kommen. Diese Bemühungen haben sich dann sowohl im BRP Vorbereitungskurs, der für mich mehr oder weniger nur noch ein Auffrischungskurs war, als auch bei der eigentlichen Maturaprüfung als vorteilhaft erwiesen.
Rückblickend auf meine über fünfzigjährige Berufspraxis, aber auch im alltäglichen Leben habe ich die Erkenntnis gewonnen, dass solide Mathematikkenntnisse durchaus Vorteile bieten. Daher möchte ich alle Interessierten einladen, meinen Mathematik Blog zu besuchen, um eventuell verstaubtes Mathematikwissen wieder aufzumöbeln, und im Beruf und Alltag für mathematische Herausforderungen fit zu sein.
In den folgenden Blog Beiträgen möchte ich neben der geschichtlichen Perspektive einmal die fundamentalen Mathematik Grundregeln erläutern. Da meine Wurzeln im Bereich der Elektro- u. Nachrichtentechnik liegen, werde ich versuchen auch praktische Rechenbeispiele zu bringen. Nun zum Schluss gibt es zur Steigerung der Motivation noch zwei beeindruckende Videos zum Thema Kopfrechnen.

Also in diesem Sinne dranbleiben und bekanntlich "macht Übung den Meister, oder?".

GNU

Mathematik eine Erfolgsgeschichte

Liebe Leserinnen und Leser, bevor ich mich mit der eigentlichen Mathematik widmen werde, möchte ich noch ein wenig über die geschichtliche Entwicklung der Mathematik schreiben (literarische Betrachtung). Natürlich ist es vermessen zu glauben, man könnte über sieben tausend Jahre Mathematikgeschichte in wenigen Worten oder Sätzen angemessen abhandeln. Dennoch ist es mir ein Anliegen, meiner Meinung nach wichtige Meilensteine in der Entwicklung der Mathematik aufzuzeigen und um sich auch dieser grandiosen Entwicklung, die unser tägliches Leben maßgeblich beeinflußt, sich auch bewußt zu werden.
Angefangen hat alles mit verkohlten Knochen- und Holzfunden mit eingearbeiteten Kerben welche im Zuge von  Ausgrabungen gefunden, von Archiälogen auf das Jahr 5500 v.Chr. datiert wurden und als erste Spuren menschlicher Fähigkeit zu rechnen angesehen werden. Dabei haben sich die mathematischen Fähigkeiten, so wird vermutet, auf das Zählen und Benennen von Gegenständem oder wiederkehrender Ereignisse beschränkt. Bereits 3000 v.Chr. verbreitete sich mathematisches Wissen ausgehend von Indien in Richtung China, aber auch in den arabischen Raum und nach Ägypten aus. Zirka um 2000 v.Chr. wurde dann bereits ansatzweise die Algebra entwickelt. Das Wort Algebra stammt aus dem arabischen Wort "al-gabr" was für "das Ergänzen" steht. Zur gleichen Zeit haben sich die Ägypter intensiv mit einem Teilbereich der Mathematik der Geometrie befasst. Ohne diesem Wissen wären die monumentalen Bauwerke, die Pyramiden wohl nicht entstanden. Aber auch auf Grund der jährlichen Überflutungen durch den Nil wurden jährlich wiederkehrend die bewirtschafteten Flächen des Landes stark in Mitleidenschaft gezogen und mussten folglich immer wieder neu vermessen werden - was die damaligen Ägypter zu wahren Experten im Vermessungswesen machte. Das rechtwinklige Dreieck war den Ägyptern schon lange vor dem griechischen Mathematiker Pythagoras bekannt. Pythagoras war es der den Zusammenhang der Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks in einer nicht zu überbietender Einfachheit und Klarheit  \(a^2 + b^2 = c^2\),  bzw. umgestellt nach   \(c = \sqrt {a^2 + b^2}\)   zu "Papyrus" brachte. In der Hochblüte der arabischen Kultur -  das arabische Reich erstreckte sich damals über den gesamten vorderen Orient, Nordafrika und auch die Iberische Halbinsel, war Teil des Imperiums. Dadurch konnte sich auch in Europa das Wissen um die Mathematik rasch verbreiten. Aufbauend auf den mathematischen Erkenntnissen indischer, persicher und arabischer Mathematiker haben dann europäische Mathematikgenies - um nur wenige zu nennen Gauß, Leibniz, Euler oder auch Newton - bahnbrechende Erkenntnisse, wie beispielsweise die Infinitesimalrechnung erarbeitet. Diese mathematischen Grundlagen haben die technischen Entwicklungen wie wir sie heute kennen erst ermöglicht.
Besonders faszinierend ist jedoch, dass tausende Jahre später prähistorische  Rechenmethoden auch heute noch Anwendung finden und diese beispielsweise auch in Langenegg noch aktiv gepflegt werden. Möglicherweise  sind diese Fähigkeiten aber schon längst im menschlichen Genpool fest verankert. Lange Zeit habe ich darüber nachgedacht was wohl die auf einer grünen Linie aufmontierten Stolperklötzchen bedeuten könnten. Heute weiß ich, so wie unsere Urahnen vor tausenden von Jahren Kerben in Holzstöcke geschlagen haben, um beispielsweise die Anzahl ihrer Ziegen zu dokumentieren, sind es heute die gelben Stolpersteinchen die dem heutigen Umfeld zeigen soll, wieviele Pandas sich  im Besitz einer Familie oder einer einzelnen Personen befinden.  Vielleicht ist es aber auch nur steinzeitliches Imponiergehabe, das früher wie auch heute die wirtschaftliche Leistungfähigkeit und damit verbunden den gesellschaftlichen Status von Personen zur Schau tragen soll.  Ja es ist immer wieder schön zu sehen wie  "Evolution" auch heute noch stattfindet.

GNU

Zahlensysteme, Zahlen und Zahlenarten

Liebe Leser:innen des 1ATelefon Mathe Blog’s. Um in das Thema Mathematik einsteigen zu können, macht es Sinn sich vorab schon einmal Gedanken über Begriffe wie Zahlensysteme, Zahlen oder auch Zahlenarten zu machen. Was vielleicht im ersten Moment etwas kompliziert klingt sind aber nur Definitionen, damit sichergestellt wird, dass alle vom Selben reden.

Ein Zahlensystem ist ein mathematisches System, das zur Darstellung und Verarbeitung von Zahlen verwendet wird. Es definiert, wie Zahlen dargestellt, interpretiert und in Berechnungen verwendet werden. Es gibt verschiedene Arten von Zahlensysteme, die jeweils unterschiedliche Basen und Regeln haben. Das wahrscheinlich für uns alle geläufigste Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Begründet wurde es durch indische Mathematiker und später von arabischen Mathematikern übernommen. Diese verbreiteten durch ihre Schriften ihr Wissen und so gelangten aus dem damaligen arabischen Reich, über das spanische Andalusien, Übersetzungen nach Europa. Bis in das 14. Jahrhundert wurden in Europa noch mit den recht unhandlichen römischen Zahlen gearbeitet. Darüber hinaus hatte das röm. Zahlensystem noch weitere Schwächen, da es weder negative Zahlen noch die Zahl Null kannte und somit für algebraische Berechnung nicht geeignet war. Ebenso war es mit dem Umgang großen Zahlen nicht ausgelegt. Im 15. Jahrhundert hat dann Adam Ries mit seinen in deutscher Sprache erschienen Werken entscheidend dazu beigetragen, dass die unhandliche römische Zahlendarstellung durch die nach dem Stellenwertsystem strukturierten indisch- arabischen Zahlzeichen ersetzt wurden. Herrschte anfänglich noch Skepsis, haben sich aber Kaufleute, Geldwechsler – die Vorläufer der heutigen Banker, schnell mit den Vorzügen der neuen "Rechenkünste" angefreundet - konnten doch auch negative Zahlen (Schulden) abgebildet, bzw. damit gerechnet werden.
Das geflügelte Wort „das macht dann nach Adam Riese ……“ zeigt offensichtlich die Begeisterung für die arabischen Zahlen und das dezimale Zahlensystem.

Erklärung des Stellenwertsystems anhand des Dezimalzahlensystems.

$$ \begin{array}{c|c} 10^3 & 10^2 & 10^1 & 10^0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6 & 6 \\ 7 & 7 & 7 & 7 \\ 8 & 8 & 8 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \\ \end{array} $$
Dem entsprechend setzt sich z.B. die Zahl \(257\)_DEC wie folgt zusammen. \( 0*10^3 + 2*10^2 + 5*10^1 + 7*10^0 =257 \)_DEC

Wieso sich gerade das Dezimalsystem derartig großer Beliebtheit erfreut und sich auch durchsetzte, könnte daran liegen, dass bereits in den Anfängen der Mathematik und auch heute noch Menschen gerne ihre zehn Finger beim Rechnen zur Hilfe nehmen.

Auch wenn das Dezimalsystem das gebräuchlichste Zahlensystem ist, ist es noch lange nicht das älteste Zahlensystem. Bereits 4000 v.Chr. – also noch vor der ägyptischen Hochkultur, hatten die Sumerer ein 60iger Zahlensystem verwendet. Das heißt es konnten in der Einerstelle bereits 60 verschiedene Zahlenwerte dargestellt werden. Dieses Zahlensystem begleitet uns heute noch im alltäglichen Leben. Ein Blick auf die Uhr zeigt, dass 1 Stunde in 60 Minuten und 1 Minute in 60 Sekunden unterteilt ist. Aber auch das Ziffernblatt der Uhr ist in 12 Stunden, also ein Fünftel von Sechzig, eingeteilt. Ebenso wird der Kreis in 360 Grad, ein Vielfaches von 60 unterteilt. Auch die Unterteilung in Gradminuten und Grandsekunden erfolgt einer 60iger Struktur.

Zumindest die letzten 70 Jahre hat das binäre Zahlensystem eine bedeutende Rolle erlangt. Entwickelt wurde es im 17. Jahrhundert von dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz. Obwohl es zu dieser Zeit weder Rechenmaschinen geschweige noch Computer gab, erkannte Leibniz die Vorteile des binären Zahlensystems in Zusammenhang mit den zu diesem Zeitpunkt noch nicht erfundenen maschinellen Rechenmaschinen. Leibniz war es dann auch der die erste mechanische Rechenmaschine - welche die vier Grundrechnungsarten beherrschte, gebaut hat. 
Wie der Name schon erahnen lässt, unterscheidet das binäre Zahlensystem nur zwischen den beiden Werten 0 und 1 – was für mechanische oder auch elektrische Systeme enorme Vorteile bietet. Damit große Zahlen dargestellt werden können, wird dadurch zwangsläufig eine hohe Anzahl an Stellen benötigt. Das bringt den Nachteil einer schwereren Lesbarkeit der Zahlen mit sich. Um dem entgegen zu wirken wurden vierstellige Binärzahlen zu einem „Quadrupel“ (lat. quadruplus »vierfach«) zusammengefügt. Damit war dann auch das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 geschaffen.

Wird mit unterschiedlichen Zahlensystemen gearbeitet – z.B die Eingaben in einen Taschenrechner erfolgen Dezimal, Berechnungen in der Arithmetic Unit erfolgen binär und die Rechenergebnisse sollen für den Anwender wieder in leicht lesbaren Dezimalzahlen erfolgen, muss zwischen den Zahlensystemen umgerechnet werden.
Ein Beispiele hiezu:

$$ \begin{array}{c|c} 2^7 & 2^6 & 2^5 & 2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$
Umrechnung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl am Beispiel \(01101100\)_BIN \( 0*2^7 + 1*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 64 + 32 + 8 + 4 = 108 \)_Dec

Nicht weniger wichtig ist das Umrechnen von Dezimal in Binärzahlen. Dazu wird die umzurechnende Dezimalzahl solange durch die Basis 2 geteilt bis schlusssendlich die ursprüngliche Dezimalzahl noch den Wert 0 hat. Darüber hinaus werden mittels Modulo Operationen die Restwerte fortlaufend bestimmt. Ein Beispiel hiezu:

108_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 0 ; LSB (lowest significant bit)
054_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 0
027_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 1
013_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 1
006_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 0
003_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 1
001_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 1
000_DEZ Division durch  2  ; Modulo = 0 ; MSB (most significant bit)
Das Ergebnis lautet somit \(01101100\)_BIN

Das Hexadezimale Zahlensystem basiert auf dem Binärenzahlensystem. Der besseren Lesbarkeit wegen wurden vier binäre Stellen zusammen gefasst. Mit vier Binärstellen kann ein Wertbereich von 0 - 15 also 16 unterschiedliche Zahlenwerte dargestellt werden. Besteht Bedarf noch größere Zahlen darzustellen, müssen analog zu den andren Zahlensystemen weitere Stellen vorangestellt werden.

Zusammenhang zwischen Binär- und Hexadezimalzahlen.

$$\begin{array}{cccc|cr} 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 & \text{Hexadec}\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 &\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 &\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 &\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 &\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 5 &\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 6 &\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 7 &\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 8 &\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 9 &\\ 1 & 0 & 1 & 0 & A &\\ 1 & 0 & 1 & 1 & B &\\ 1 & 1 & 0 & 0 & C &\\ 1 & 1 & 0 & 1 & D &\\ 1 & 1 & 1 & 0 & E &\\ 1 & 1 & 1 & 1 & F &\\ \end{array} $$

Wer sich die vierstelligen Binärzahlen mit den dazugehörigen Hexadezimalwerten nicht auswendig lernen möchte, kann sich natürlich auch aus der oben ageführten Tabelle ablesen. Auch das kovertieren einer Dezimal- in eine Hexadezimalzahl folgt der selben Methodik, wie der Umstellung vom dezimalen in das binäre Zahlensystem. Der einzige Unterschied liegt darin, dass durch 16 dividiert wird und natrlich können Modulo Werte zwischen "0" und "F" annehmen.
In dem nachfolgend angeführten Beispiel wird die Dezimalzahl 108 auf Hexadezimal umgerechnet.

108_DEZ Division durch 16  ; Modulo = 12 = C_HEX 
006_DEZ Division durch 16  ; Modulo = 06 = 6_HEX
000DEZ 
Nachdem die Hexadezimalzahlen in die richtige Reihenfolge gebracht werden, lautet das Ergebnis  6C_HEX.

Ein weiteres Zahlensystem das sich aus der Bündelung von 3 Binärstellen ergibt, ist das Octalsystem. Es können damit in der Einerstelle lediglich 8 Zahlenwerte dargestellt werden. Das Octalsystem hat heute aber de facto keine Bedeutung mehr.

In der Mathematik werden zwischen verschiedenen Zahlenarten unterschieden. Im Laufe der Entwicklungsgeschichte mussten um die verschiedenen Berechnungen durchführen zu können die Zahlenarten immer wieder erweitert werden und selbst heute ist dieser Prozess noch nicht abgeschlossen.
Die wohl älteste Zahlenart sind die natürlichen Zahlen. $\mathbb{N} = {\{1,2,3,......\infty}\}$ Ob die Zahl 0 auch dazugehört ist umstritten. Die Zahl 0 wurde erst viel später als Zahl eingeführt. Am Anfang wurde die 0 in der arabischen Mathematik noch als Punkt später als kleiner Kringel notiert und erst als der 0 auch der Wert 0 zugewiesen wurde, hat sie die Größe und Bedeutung einer Zahl bekommen. Natürliche Zahlen sind in erste Linie dazu da um Dinge, Sachen und Häufigkeiten zu zählen. Mit den natürlichen Zahlen gibt es aber Einschränkungen. So sind beispielsweise Subtraktionen bei der eine größere natürliche Zahl von einer kleineren natürlichen Zahl subtrahiert werden soll nicht möglich. Um dieses Problem zu lösen wurden die ganzen Zahlen eingeführt. $\mathbb{Z} = {\{-\infty.....,-3,-2,-1,0,1,2,3,......\infty}\}$ Zu den ganzen Zahlen gehören neben den natürlichen Zahlen und der Null noch die ganzen Zahlen mit negativem Vorzeichen an. Rechnungen wie \({5}\over{2}\) - also Brüche die nicht als ganze Zahl angeschrieben werden können, machten immer noch Schwierigkeiten. Der Zahlenraum musste mit den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ erweitert werden. Zu den Rationalen Zahlen zählen auch die ganzen Zahlen und auch Brüche die wiederum aus ganzen Zahlen bestehen. Aber auch eine Kommazahl kann eine rationale Zahl sein, sofern sie auch als Bruch geschrieben werden kann.

$\mathbb{I} = {\{\pi, \mathrm{e}, \sqrt{2}, \sqrt{5}, etc.....}\}$

Irrationale Zahlen $\mathbb{I}$ können nicht als Bruch dargestellt werden, haben eine unendliche Zahl an Nachkommastellen und weisen keine Periodizität auf. Der absolut genaue Wert einer irrationalen Zahl ist somit unbekannt, da es sich nur um eine Näherung handelt. Es gibt unendlich viele Irrationale Zahlen, da zwischen ganzen Zahlen Zahlenwerte mit unendlich vielen Nachkommastellen möglich sind.  Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ zusammen mit den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ergeben dann die reelle Zahlen $\mathbb{R}$.

Waren bis hierher alle Erweiterungen der Zahlenarten lediglich Ergenzungen zu den natürlichen Zahlen und somit auf dem reellen Zahlenstrahl abbildbar, handelt es sich bei den imaginären Zahlen um eine neue Zahlenart die nicht mehr auf der bestehenden reellen Zahlenebene darstellbar sind und somit einen neuen zusätzlichen Zahlenstrahl erfordert, der auch als imaginärerer Zahlenstrahl bezeichnet wird. Notwendig wurde diese Maßnahme nachdem die Gleichung ${x}^2 = -1$ nicht lösbar ist. Sowie reelle Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen wurde bei den imaginären Zahlen aus der oben angeführten Gleichung die imaginäre Einheit  ${i}^2 = -1$ definiert. Oft findet man für die imaginäre Einhait auch die Schreibweise ${i} = \sqrt{-1}$.   Beispiel einer imaginären Zahl. $ \sqrt{-25} = \sqrt{-1  * 25} = \sqrt{-1} * {5} = {i5} $

Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Da die Quadrate aller reellen Zahlen größer gleich 0 sind, kann die Lösung der Gleichung ${x^2} = -1$ keine reelle Zahl sein.  Es wird eine neue Zahl benötigt die üblicherweise mit \(i\), bzw. imaginäre Einheit ${i} =\sqrt{-1}$ bezeichnet wird. Komplexe Zahlen werden als Summe \( a +b *i\) definiert, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die vorhin definierte imaginäre Einheit representiert. Auf die so definierten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei i wie eine konstante verwendet wird und ${i^2}$ durch $-1$ ersetzt werden kann und umgekehrt. Dargestellt werden die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Eine komplexe Zahl wird durch zwei - einen reellen und einen imaginären Zahlenwert beschrieben. Neben der kartesischen Schreibweise können komplexe Zahlen auch in einer trigonometrischen, sowie exponentiellen Schreibweise dargestellt werden.

War bis hier her noch alles "Kindergeburtstag", geht es ab jetzt an's Eingemachte

Hyperkomplexe Zahlen $\mathbb{H}$

sind eine Erweiterung der kompexen Zahlen $\mathbb{C}$ und sind eine Verallgemeinerung der reellen und komplexen Zahlen, die über algebraische Strukturen hinausgehen, um eine Vielzahl von Zahlenräumen zu beschreiben. Sie finden in verschiedenen mathematischen und physikalischen Anwendungen Verwendung. Zu den bekanntesten hyperkomplexen Zahlensystemen gehören die Quaternionen und die Oktonionen, aber es gibt viele andere, wie etwa die Clifford-Algebren.

Struktur und Eigenschaften

1. Quaternionen:
   • Einführung:  William Rowan Hamilton entwickelte die Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen.
   • Darstellung: Sie haben die Form \(q=a+bi+cj+dk\), wobei \(a,b,c,d\) reelle Zahlen sind und \(i,j,k\) Einheitsvektoren darstellen, die die Eigenschaften \(i^2=j^2=k^2=ijk=−1\) erfüllen.
   • Besonderheit: Quaternionen sind nicht kommutativ, d.h., \(ij≠ji\).
2. Oktonionen: 
   • Einführung: John Graves und Arthur Cayley entwickelten die Oktonionen.
   • Darstellung: Sie bestehen aus acht Dimensionen und erweitern die Quaternionen. Auch sie sind nicht assoziativ, d.h., \((xy)z≠x(yz)\).
3. Clifford-Algebren:
   • Struktur: Diese Algebren verallgemeinern die komplexen Zahlen und Quaternionen, indem sie zusätzliche geometrische Informationen kodieren, insbesondere für Anwendungen in der Differentialgeometrie und Physik
   .
4. Andere Systeme: Dazu gehören die Sedenionen und andere n-dimensionale Erweiterungen.

Anwendungen hyperkomplexer Zahlen

1. Physik:
   • Quantenmechanik: Quaternionen wurden historisch für die Beschreibung der Spin-Physik und die Schrödingergleichung verwendet.
   • Relativitätstheorie: Clifford-Algebren spielen eine zentrale Rolle in der Beschreibung von Raum-Zeit-Strukturen.
   • Strömungsmechanik: Quaternionen werden bei der Beschreibung der Orientierung und Drehung von starren Körpern verwendet.
2. Computergrafik:
   • Quaternionen sind nützlich für die effiziente Darstellung und Interpolation von Rotationen (z.B. bei Animationen und Simulationen).
3. Maschinelles Lernen und Signalverarbeitung:
   • Hyperkomplexe Zahlen wie Quaternionen und Clifford-Algebren finden Anwendung bei neuronalen Netzen und der Verarbeitung von Signalen mit mehreren Dimensionen (z.B. Farbbilder oder 3D-Daten).
4. Mathematik:
   • Topologie und Algebra: Hyperkomplexe Zahlenmodelle werden verwendet, um höherdimensionale Räume zu studieren.
   • Zahlentheorie: Sie helfen bei der Untersuchung von allgemeinen Zahlensystemen.

Hyperkomplexe Zahlen erweitern die Möglichkeiten, mathematische Phänomene zu modellieren und zu analysieren, insbesondere wenn höhere Dimensionen oder spezielle algebraische Strukturen erforderlich sind. 

Römisches Zahlensystem

Zum Schluß gibt es in einem "cool down" noch die römischen Zahlen.  Auch wenn sie heute in der Mathematik bedeutungslos erscheinen mögen, sind sie doch noch auf den Zifferblätter alter Uhren oder auch in Büchern in denen beispielsweise, die einzelnen Kapitel in röm. Zahlen durchnummeriert sind, anzutreffen. Grundsätzlich bestehen die röm. Ziffern  aus 7 Zeichen $\mathrm{M, D, C, L, X, V, I}$. Die Ziffer 0 wie es sie im indisch-arabischen Dezimalsystem gibt, ist im röm. Zahlensystem nicht vorhanden. War etwas "0", also nicht vorhanden wurde die entsprechende Stelle einfach leer gelassen. Später wurde ein waagrechter Strich (Minuszeichen) geschrieben. Diese Schreibweise hat sich beispielsweise im Apothekerwesen bis weit in das 20. Jahrhunder gehalten. Da Systembedingt anfänglich mit den 7 verfügbaren Zeichen nur Zahlen bis max. 3999 abgebildet werden konnten $\mathrm{MMMCMXCIX}$, wurden später noch eine Reihe weniger bekannte Sonderzeichen, zu den bestehenden Symbolen hinzugefügt und somit ermöglicht auch noch größere Zahlen schreiben zu können.
Gerechnet wurde in dem links beginnend die einzelnen Zahlenwerte aufaddiert wurden.

Zum besseren Verständnis zwei Zahlenbeispiele. Die Jahreszahl 1958 in der römischer Schreibweise $\mathrm{MCMLVIII}$, sowie die römische Jahreszahl $\mathrm{MMXXIV}$ in arabischer Schreibweise 2024.

Römische Zahlentabelle: 

$\begin{array}{c|c} \text{Großbuchstabe} & \mathrm{I} & \mathrm{V} & \mathrm{X} & \mathrm{L} & \mathrm{C} & \mathrm{D} & \mathrm{M} & \mathrm{ↁ} & \mathrm{ↂ} & \mathrm{ↇ} & \mathrm{ↈ}\\ \hline \text{Wert} & 1 & 5 & 10 & 50 & 100 & 500 & 1.000 & 5.000 & 10.000 & 50.000 & 100.000\\ \end{array}$

Hier noch die Zuweisungstabelle für die Zahlenwerte 1 bis 20.

$\begin{array}{c|c} \text{röm.Zahl} & \text{arab.Zahl}\\ \hline \mathrm{I} & 1\\ \mathrm{II} & 2\\ \mathrm{III} & 3\\ \mathrm{IV} & 4\\ \mathrm{V} & 5\\ \mathrm{VI} & 6\\  \mathrm{VII} & 7\\ \mathrm{VIII} & 8\\ \mathrm{IX} & 9\\ \mathrm{X} & 10\\ \mathrm{XI} & 11\\ \mathrm{XII} & 12\\ \mathrm{XIII} & 13\\  \mathrm{XIV} & 14\\ \mathrm{XV} & 15\\ \mathrm{XVI} & 16\\ \mathrm{XVII} & 17\\ \mathrm{XVIII} & 18\\ \mathrm{XIX} & 19\\ \mathrm{XX} & 20\\ \end{array}$

Vom "Nichts" zur "Null", die Erfolgsgeschichte der Null.

Die Entstehung der Ziffer 0: Eine Reise durch die Geschichte der Mathematik

Die Ziffer 0 ist ein grundlegender Bestandteil der Mathematik und des modernen Lebens. Doch ihre Entstehung und Akzeptanz waren ein langer Prozess, der von kulturellen, wissenschaftlichen und philosophischen Entwicklungen geprägt war. Die Geschichte der Null zeigt, wie eine abstrakte Idee zu einem mächtigen Werkzeug wurde, das die Mathematik und die Menschheit revolutionierte.

Die Null in der Antike: Ein Platzhalter entsteht

Die ersten Spuren der Null finden sich in Mesopotamien, etwa um 300 v. Chr. Die Babylonier nutzten ein Symbol – zwei Keilstriche –, um leere Stellen in ihrem Zahlenwert darzustellen. Zum Beispiel wurde zwischen 2 und 20 durch dieses Symbol unterschieden. Diese frühe Null diente jedoch nur als Platzhalter und hatte keinen eigenen Wert. Sie wurde nicht als Zahl betrachtet, sondern lediglich als praktisches Hilfsmittel. Auch andere Kulturen entwickelten ähnliche Konzepte. Die Maya in Mittelamerika verwendeten etwa ab dem 4. Jahrhundert n. Chr. ein Schneckensymbol, um Null im Rahmen ihres Kalendersystems darzustellen. Doch wie bei den Babyloniern war diese Null eher ein Konzept der Leere als eine echte Zahl.

Die Null in Indien: Eine Zahl wird geboren

Die Null als eigenständige Zahl entstand erstmals in Indien. Etwa im 5. Jahrhundert n. Chr. entwickelte sich hier ein revolutionäres Verständnis der Null. Indische Mathematiker erkannten, dass die Null nicht nur eine Abwesenheit oder Lücke darstellt, sondern eine Zahl mit eigenen Eigenschaften ist. Der Mathematiker Brahmagupta (598–668 n. Chr.) war der erste, der die Null systematisch beschrieb. In seinem Werk Brahmasphutasiddhanta legte er Regeln für Rechenoperationen mit der Null fest. Brahmagupta betrachtete die Null als Ergebnis einer Subtraktion: Wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht, bleibt „nichts“ übrig. Dieses „Nichts“ wurde als Null definiert. Brahmagupta formulierte grundlegende Rechenregeln, wie etwa: 
\(a+0=a\)
\(a−0=a\)
\(a⋅0=0\)
Obwohl er auch versuchte, die Division durch Null zu erklären, blieb dieses Problem ungelöst und wurde später von anderen Mathematikern aufgegriffen.

Die Verbreitung der Null: Von Indien in die Welt

Das indische Zahlensystem, einschließlich der Null, gelangte über Handels- und Kulturkontakte in die islamische Welt. Arabische Mathematiker wie Al-Chwarizmi und Al-Kindi übernahmen die Null und integrierten sie in ihre Werke. Al-Chwarizmi, der im 9. Jahrhundert lebte, schrieb Abhandlungen über das indische Zahlensystem und prägte damit die Verbreitung dieser Ideen. Von der islamischen Welt aus erreichte die Null Europa. Im 12. Jahrhundert wurden arabische mathematische Texte ins Lateinische übersetzt. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci stellte das indisch-arabische Zahlensystem in seinem Buch Liber Abaci (1202) vor. Fibonacci zeigte die Vorteile der Null und des Dezimalsystems gegenüber dem damals in Europa verwendeten römischen Zahlensystem auf. Dennoch dauerte es mehrere Jahrhunderte, bis sich die Null in Europa vollständig durchsetzte.

Die Null als philosophisches Konzept

Die Akzeptanz der Null war nicht nur eine mathematische, sondern auch eine philosophische Herausforderung. In vielen Kulturen wurde die Null mit dem „Nichts“ assoziiert, einem Konzept, das oft als bedrohlich oder unverständlich galt. In der westlichen Philosophie und Theologie, die von antiken griechischen Denkern wie Aristoteles beeinflusst war, wurde die Idee des Nichts lange Zeit abgelehnt.
Indien hingegen hatte eine andere Perspektive auf das Nichts. In den indischen Religionen und Philosophien spielte das Konzept der Leere (Shunyata) eine wichtige Rolle, was die Akzeptanz der Null als Zahl erleichterte.

Die Null in der Moderne

Mit der Verbreitung der Null wurde sie zur Grundlage moderner Mathematik und Technik. Die Null ermöglichte die Entwicklung des Dezimalsystems, das präzise und komplexe Berechnungen vereinfachte. Sie wurde zu einem zentralen Element der Algebra, der Infinitesimalrechnung und schließlich der Informatik. Im binären Zahlensystem bildet die Null zusammen mit der Eins die Grundlage für die Funktionsweise moderner Computer.

Fazit 

Die Entstehung der Ziffer 0 war ein langer und faszinierender Prozess, der die Denkweise der Menschheit grundlegend veränderte. Von ihren Anfängen als Platzhalter in Babylonien bis zu ihrer Einführung als eigenständige Zahl in Indien und ihrer Verbreitung in die westliche Welt zeigt die Geschichte der Null, wie revolutionär abstrakte Ideen sein können. Die Null ist heute unverzichtbar und ein Symbol für die Fähigkeit des Menschen, über das Konkrete hinauszugehen und das Abstrakte zu erfassen.