Berechnen einer Kubikwurzel anhand dem Beispiel

\( \sqrt[3]{8} = z \)

Die kubische Wurzel von 8 hat drei komplexe Lösungen. Dies liegt daran, dass die Gleichung \( z^3 = 8 \) im Bereich der komplexen Zahlen drei Lösungen besitzt.

Die allgemeine Form lautet:

 \( z = \sqrt[3]{|r|} \cdot e^{i\frac{ \Theta + 2  \pi k}{3}}\), k=0,1,2. 

Hier ist r der Betrag und θ der Winkel im Polarkoordinatensystem.

Schritte:

1. Betrag und Winkel bestimmen: Der Betrag von 8 ist r=8. Der Winkel θ=0 (da 8 auf der positiven reellen Achse liegt). 
2. Die kubische Wurzel des Betrags: \( \sqrt[3]{8} = 2 \)
3. Die Lösungen berechnen: Die drei Lösungen ergeben sich durch die Rotation im komplexen Raum mit k=0,1,2:

\( z_{k} = 2 \cdot e^{i \frac{2 \pi k}{3}}\)

 Um die Werte explizit auszudrücken:

• Für k=0:

  \( z_{0} = 2 \cdot e^{i * 0} =  2 \)

• Für k=1:

  \( z_{1} = 2 \cdot e^{i \frac{2  \pi}{3}} = 2 (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}\)

• Für k=2:

  \( z_{2} = 2 \cdot e^{i \frac{4  \pi}{3}} = 2 (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}\)

Zusammenfassung: Die drei Lösungen der kubischen Wurzel von 8 sind:  \(z_0 = 2;  z_1= −1 + i\sqrt{3};  z_2 = −1 −i\sqrt{3} \).