Die sieben Grundrechnungsarten der Mathematik.
Eigentlich sollten nach dem erfolgreichen Absolvieren der Schulpflicht die Grundrechnungsarten nicht nur bekannt sein, sondern von allen auch angewendet werden können. Aber wie beim Lesen und Schreiben, wo es angeblich eine nicht zu unterschätzende Anzahl an erwachsenen Personen geben soll, die des Lesens und Schreibens nicht mächtig sein sollen - vielleicht weil sie auch nur über Jahrzehnte hinweg weder Zeitungen noch Bücher gelesen haben, könnte es sein, dass bei dem einen oder anderen im Laufe der Jahre die eine oder andere Rechenregel in Vergessenheit geraten ist. Notorische Mathe Verweigerer werde möglicherweise hier überfordert sein. (Es ist schon eine Zumutung welche Sch.... heutzutage über das Privatfernsehen verbreitet wird.)
Addieren
Begriffe:
\( 5 + 4 = 9\)
Die beiden zusammen zu zählenden Zahlen werden dabei als Summanden, das berechnete Ergebnis als Summe bezeichnet.
Gesetze:
Vertauschungsgesetz (Kommutatives Gesetz):
\(a + b = b + a\)
Verbindungsgesetz (Assoziatives Gesetz):
\( a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = b + ( a + c ) \)
Beispiele:
a) \(1,8 x + 2,2 x + 3,4 y + 4,6 y = 4 x + 8 y\)
b) \( 2,3 + (1,8 + 0,7) = 2,3 + 1,8 + 0,7 = (2,3 + 0,7) + 1,8 = 3 + 1,8 = 4,8 \)
Subtrahieren
Begriffe:
\( 9 - 7 = 2\)
(Minuend - Subtrahend = Differenz)
Gesetze und Regeln:
- Das Vertauschungsgesetz gilt nicht: \(a - b \neq b - a\)
- Klammer - Regeln
| \(a + (b - c) = a + b - c\) | Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann weggelassen werden |
| \(a - ( b - c ) = a - b + c\) | Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, kann man weglassen, wenn man die Vorzeichen der einzelnen Glieder des Klammerausdrucks wechselt. |
Algebraische Summe:
Die algebraische Summe ist eine Folge von Additionen und Subtraktionen allgemeiner Zahlen.
| \(a + b - c + d\) |
Die Subtraktion kann formal als Addition dargestellt werden, indem man die Operationszeichen als Vorzeichen interpretiert.
\( (+ a) + (+b) + (-c) + (+d)\)
Die Reihenfolge der Glieder einer algebraischen Summe ist beliebig.
\( a - b + c = c + a - b = -b +a + c\)
Beispiele:
a)
\( 25 - ( 7 + 3 - 5 ) = 25 -7 - 3 + 5\)
b)
\( 20 - (6 - 3 + 1) - [ 15 - 2 - ( 3 - 7)] = 20 - (4) - [13 - (-4)] = 16 - [17] = -1\)
c)
\([(32a + 4b) - (14a - 5b)] - [18a + (5a - 3b) - (4a + 8b)] = \)
\([32a + 4b - 14a + 5b] - [18a + 5a - 3b - 4a - 8b] = \)
\([18a + 9b] - [19a - 11b] = \)
\(18a + 9b -19a +11b =\)
\(-a + 2ab\)
d)
\(12 - \{6 - [5 - 2 -(1 - 7 +2)]\} =\)
\( 12 - \{6 - [3 - (-4)]\} =\)
\(12 - \{6 - [3 + 4]\} =\)
\(12 - \{6 - 7\} =\)
\(12 - (-1) = 13\)
Multiplizieren
Begriffe:
\( 3 * 4 = 12\)
Multiplikand * Multiplikator = Produkt
Multiplikand und Multiplikator werden oft auch als Faktoren bezeichnet.
Die Multiplikation stellt die Addition mehrerer gleicher Summanden dar.
| \(4 * 3 = 12\) | \(3 + 3 + 3 + 3 = 12\) |
| \(3 * 4 = 12\) | \(4 + 4 + 4 = 12 \) |
Gesetze und Regeln:
1) Kommutatives Gesetz: a * b = b * a
2) Assoziatives Gesetz: (a * b) * c = a * ( b * c) = (a * c) * b = a * b * c
3) Verteilungsgesetz (Distributives Gesetz): \( (a \pm b) * c = a c \pm b c \)
4) Vorzeichenregeln:
| \((+a) * (+b) = +ab\) | \((-a) * (+b) = -ab \) |
| \((-a) * (-b) = +ab\) | \((+a) * (-b) = -ab \) |
5) Ist der Wert eines Produktes Null , so muss mindestens ein Faktor 0 sein. \( a* b = 0\) etweder \( a = 0\) oder \(b = 0\).
6) Multiplikation von Polynomen (= mehrgliedrige Ausdrücke): \( (a - b) * (c -d) = ac - ad - bc + bd\)
Formel: \((a+b)(a-b) = a^2 -b^2\)
Beispiele:
a) 3a * 4b * 2c = 24abc
b) (+4x) (-5y) = -20xy
c) (-7m) (-3n) = 21 mn
d) (6+5) (7-4) = 6*7 + 6*(-4) +5*7 +5*(-4) = 42 - 24 + 35 - 20 = 33
e) (3x + 4y - 5z) (2x - 3y + z) = 3x2x + 4y2x - 5z2x +3x(-3y) + 4y(-3y) - 5z(-3y) + 3xz + 4yz - 5z*z = 6x² -xy - 7xz - 12y² + 19yz - 5z²
f) (u + v - w) (x - y) = ux + vx - wx - uy - vy +wy
g) (x + y) (x - y) = x*x + yx - xy - y*y = x² - y²
h) (4x² - 3x + 2) (x + 1) = 4x³ - 3x² + 2x + 4x² - 3x + 2 = 4x³ + x² - x + 2
Dividieren
Begriffe:
\( 12 : 4 = 3\)
Dividend : Divisor = Quotient
\({12 (Zähler)}\over{4 (Nenner)}\) \(= {3 (Bruch)}\)
Gesetze und Regeln:
1) Das Vertauschungsgesetz gilt nicht: \( {a \over b} \ne {b \over a}\) ........... "reziprok" zueinander
2) Null als Divisor (Nenner) ist unzulässig: \( {a \over 0} = \infty \)
3) Vorzeichenregeln:
| \((+a) : (+b) = +{a \over b}\) | \((-a) : (+b) = -{a \over b} \) |
| \((-a) : (-b) = +{a \over b}\) | \((+a) : (-b) = -{a \over b} \) |
4) Distributives Gesetz: \( (a \pm b) : c = {a \over c} \pm {b \over c} \) ........ "Ausdividieren einer algebraischen Summe"
5) Polynomdivision:
\( (4x^3 + x^2 - x + 2) : (x + 1) = 4x^2 - 3x + 2\)
..\( 4x^3 + 4x^2\)
..______________
....--.....\(- 3x^2 - x + 2\)
...........\(-3x^2 - 3x\)
..............____________
................--..........\(2x + 2\)
.............................\(2x + 2\)
...........................______________
................................--.......--
250 Jahre Schulpflicht in Österreich.
Die österr. Kaiserin Maria Theresia hat nicht nur die Folter abgeschafft sondern 1774, also vor 250 Jahren, eine sechs jährige Schulpflicht eingeführt - was zweifelsohne als Meilenstein angesehen werden kann. Anfangs ging nur jedes dritte Kind zur Schule. Fast 1 Jahrhundert später, 1869 stellte das Reichsvolksschulgesetz das gesamte Pflichtschulwesen auf eine einheitliche Basis, die Schulpflicht wurde von sechs auf acht Jahre erhöht. Soweit mir errinnerlich ist, wurden in meinem Jahrgang noch Kinder die gesamte Pflichtschulzeit, also acht Jahre an der Volksschule unterrichtet. Der Mathematikunterricht hat sich dabei auf das Erlernen der vier Grundrechnungsarten Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren beschränkt. Abgesehen von den algebraischen Ausdrücken, das Rechnen mit Buchstaben entsprechen die Ausführungen im Wesentlichen den vorhin genannten vier Grundrechnungsarten. Auch die Polynomdivision war mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht Gegenenstand des damaligen Volksschulunterrichts. Da stellt sich die Frage, ist das nicht recht bescheiden was hier in acht Jahren an Mathematik Kenntnissen den Schüler:innen vermittelt wurde?? Nun möglicherweise hatte Mathematik zu der Zeit noch nicht den Stellenwert und es gab andere Prioritäten, wie beispielsweise das Kathechismuslesen oder auch im Fach Mädchen- und Knabenhadarbeit praktische Erfahrung fürs alltägliche Leben zu sammeln. Ja und die Züchtigung mit dem Stock und die "gesunde" Watschen haben natürlich nicht als Folter gegolten.
Bruchrechnen
1) Einteilung der Brüche:
|
2) Das kleinste gemeinsame Vielfache:
Ist für das "Erweitern von Brüchen" zur Auffindung des kleinsten gemeinsamen Nenners notwendig.
Primfaktorenzerlegung: alle Primfaktoren in höchster Potenz sind maßgebend
| V (24, 40a, 30b) = 2³ * 3 * 5 * a * b = 120ab |
| $$ \begin{array}{c|c} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$ | $$ \begin{array}{c|c} 40a & a \\ 40 & 2 \\ 20 & 2 \\10 &2 \\5 &5 \\ 1 & \\ \end{array} $$ | $$ \begin{array}{c|c} 30b & b \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} $$ |
Erweiterungsfaktoren:
\({120ab}\over{24}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2^3 * 3}\) \({=} \) \({5ab}\)
\({120ab}\over{40a}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2^3 * 5 * a}\) \({=} \) \({3b}\)
\({120ab}\over{30b}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2 *3 * 5 * b}\) \({=} \) \({2^2 a}\) \({=} \) \({4a}\)
3) Der größte gemeinsame Teiler:
Ist für das "Kürzen von Brüchen" notwendig.
Primfaktorenzerlegung: gemeinsame Primfaktoren in niedrigster Potenz sind maßgebend.
| T (48, 84) = 2² * 3 = 12 |
| $$ \begin{array}{c|c} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$ | $$ \begin{array}{c|c} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\7 &7 \\ 1 & \\ \end{array} $$ |
Kürzungsquotienten:
\({48}\over{12}\) \( {=}\) \( {2^4 * 3}\over{2^2 * 3}\) \({=} \) \({2^2}\)\({=} \) \( 4 \)
\({84}\over{12}\) \( {=}\) \( {2^2 * 3 * 7}\over{2^2 * 3}\) \({=} \) \({7}\)
\({48:12}\over{84:12}\) \( {=}\) \( {4}\over{7}\)
4) Erweitern von Brüchen:
| \( {a}\over{b}\) \(=\) \({a * n}\over{b * n} \) |
Beispiele:
a) \( {2}\over{3}\) \(=\) \({2 * 2}\over{3 * 2} \) \(=\) \( {4}\over{6}\)
b) \( {6}\over{10}\) \(=\) \({6 * 2}\over{10 * 2} \) \(=\) \( {12}\over{20}\)
5) Kürzen von Brüchen:
| \( {a \over b}\) \(=\) \({ { a \over n} \over {b \over n}} \) |
Beispiele:
a) \( {9 \over 15} | :3 = {3 \over 5}\)
b) \( {6 \over 10} | :2 = {3 \over 5}\)
c) \({{wyz} \over {wy}} | :y = {{wz} \over {w}}\)
6) Addieren (Subtrahieren) von Brüchen:
Voraussetzung: gemeinsamer Nenner
|
\( {a \over c} \pm {b \over c} = {{a \pm b} \over c} \) \( {{a \over c} \pm {b \over d}} = {{ad} \over {cd}} \pm {{bc} \over {cd}} = {{{ad} \pm {bc}} \over {cd}} \) |
Beispiele:
a) \( {{1 \over 3} + {4 \over 3} - {2 \over 3}} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = {3 \over 3} = 1\)
b) \( {{1 \over 3} + {1 \over 4}} = \) \( {{1*4}\over {3*4}} \) \(+\) \( {{1*3} \over {4*3}} \) \( = \) \( {{4 + 3} \over {3 *4}} =\) \( {{7} \over {12}} \)
c) \( {1 \over 3} + {1 \over 6} + {1 \over 9} + {1 \over 12} + {1 \over 18} =\) \( {{12 + 6 + 4 + 3 + 2} \over {36}} = \) \({ 27 \over 36} = {3 \over 4} \)
d) \( {3 \over 7} - {1 \over 6} + {1 \over 3} = {{18 - 7 +14} \over 42} = {25 \over 42} \)
7) Mulltiplizieren von Brüchen:
|
\( {a \over b} c = {{a c} \over b} \) \( {a \over b} * {c \over d} = {{a c} \over {b d }} \) |
Beispiele:
a) \( {3 \over 4} * 5 = {{3 * 5} \over 4} = {15 \over 4} \)
b) \({1 \over 5} * {7 \over 4} = {{ 1 * 7} \over { 5 * 4}} = {7 \over 20} \)
c) \({{3 a} \over {4 b}} * {5 \over c} = {{ 15 * a} \over {4 * bc }} \)
8) Dividieren von Brüchen:
Multiplizieren mit dem Kehrwert (reziproken Wert) des Divisors.
| \( {{a \over b} : c} = {{a \over b} * {1 \over c}} = { a \over{b * c}} \) | .......... \({{ a \over b} \over c} = { a \over { b c}} \) |
| \( {{a \over b} : {c \over d }} = {{a \over b} * {d \over c }} = {{a d} \over {b c }} \) | .......... \( {{a \over b} \over {c \over d}} = {{a d} \over {b c}} \) (Doppelbruch) |
Beispiele:
a) \({3 \over 7} : {{-2} \over 5} = { 3 \over 7} * { 5 \over {-2}} = {{3 * 5} \over {7 * (-2) }} = {-} {15 \over 14} \)
b) \( ({3 \over 4} x - {2 \over 3} y) : ( {x \over 2} - {y \over 4}) = {{9x - 8y}\over 12} : {{2x - y} \over 4} = {{9x - 8y}\over 12} * {4 \over {2x -y}} = {{9x -8y} \over{3(2x -y)}}\)
c) \({{a-2} \over {2a -1}} - {3 \over 2} = {{(a-2) 2 - 3(2a-1)} \over {(2a - 1)2}} = {{2a - 4 -6a +3} \over {4a - 2}} = {{-4a -1}\over {4a - 2}} = {{-1(4a+1)}\over{-1(2 - 4a)}} = {{1 + 4a}\over{2 - 4a}} \)
d) \( { { { 1\over a } - { 1 \over b} } \over { { 1\over a } + {1 \over b} } } \) = \( { { {b - a} \over { a b} } \over { { b + a} \over { a b} } } \) = \( ({{b - a} \over {a b}}) ({{a b}\over{b + a}})\) = \( {{b - a}\over{b + a}} \)
e) \( 4 {1 \over 3} : 6 = (4 + {1 \over 3}) : 6 = {{12 + 1} \over 3} :6 = ({13 \over 3}) ({1 \over 6}) = {13 \over 18} \)
Proportion:
Ist eine Beziehung, die die Gleichheit zweier Verhältnisse zum Ausdruck bringt.
| \( a : b = c : d \) | .......... Normalform |
| \( {a \over b} = {c \over d} \) | .......... Bruchform |
Auflösung:
\( a : b = c : d \)
\({a \over b} = {c \over d}\)
\( a * d = c * b\) .......Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder
\( c = {{a * d}\over b} \)
Potenzieren
Begriffe:
|
\( 3^4 = 81 \) 3 = Basis / Grundzahl 4 = Exponent / Hochzahl 81 = Numerus / Zahl |
\( 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3\) ......... 4 gleiche Faktoren
\( a^n = b \) ............................... n - te Potenz von a
Die Potenz stellt die Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren dar (= kurzschreibweise)
Verwandte Rechenoperationen:
Je nachdem, welche von den 3 Größen ( a, n, b) bekannt sind und welche Größe gesucht wird, handelt es sich sich um eine der verwandten Operationen. Diese werden auch als höhere Grundrechnungsarten bezeichnet.
\( b = a^n\) ................Potenzieren
\( a = \sqrt[n]{b}\) ..............Radizieren
\( n = \log_a(b)\) ......Logarithmieren
Rechenregeln:
1) Addition (Subtraktion) von Potenzen:
Voraussetzung: gleiche Basis, gleicher Exponent
Beispiele:
a) \( 12x^2 -5x^2 + 3x^2 = 10x^2 \)
b) \( 5a^2 -3b -2a^2 + 5b = 3a^2 + 2b\)
2) Multiplikation (Division) von Potenzen gleicher Basis:
|
\( a^m * a^n = a^{(m+n)} \) \( { a^m \over a^n}\)\( = a^{(m-n)} \) |
Beispiele:
a) \( 2^3 * 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \)
b) \(2^3 : 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2 \)
c) \(a^x : a^{yz} = a^{x-yz} \)
3)Potentieren von Produkten (Brüchen):
|
\( (a * b)^n = a^n * b^n \) \( ( \frac{a}{b})^n\) \(=\) \( \frac{a^n}{b^n}\) |
Beispiele:
a) \( {(6x * 5y)}^2 = 6^2 * x^2 * 5^2 * y^2 = 36x^2 * 25y^2 = 900x^2y^2 \)
b) \( {(\frac{2a}{3b})}^3 * (\frac{3b^2}{5a^2})^2\)\( =\)\( {\frac{2^3 * a^3}{3^3 * b^3}} * {\frac{3^2 * b^4}{5^2 * a^4}}\)\( =\) \( \frac{8 b}{75 a}\)
4) Potenzen mit negativen Exponenten:
|
\( a^{(-n)} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n \) .............Kehrwert (reziproker Wert) \( (\frac{a}{b}) ^{-n}\) \( =\) \( {1 \over {(\frac{a}{b})}^n } \) \(=\) \( (\frac{b}{a})^n\) ..... Kehrwert (reziproker Wert) \( a^0 = 1 ......... (a \ne 0)\) |
Beweis:
a) \( \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n}\) .......... \( 1 = a^0\)
b) \( \frac{1}{a^n} = \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} \)
Beispiele:
a) \( x^{-3} = \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x * x * x}\)
b) \( \frac{1}{4^5} = \frac{4^0}{4^5} = 4^{0-5} = 4^{-5}\)
c) \( (\frac{5}{4})^{-3} = (\frac{4}{5})^3\)
d) \( a^{x-2} : a^x = a^{(x-2)-x} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)
e) \( 5 a^{x+3} * 4 a^{-x} * 3 a^{-3} = 5 * 4 * 3 * a^{(x+3)-x-3} = 60 * a^0 = 60\)
5) Potenzieren von Potenzen:
|
\( (a^m)^n = a^{m*n} = a^{n*m} = (a^n)^m \) |
Beispiele:
a) \( (3^2)^3 = 3^{2*3} = 3^6 = 729 \)
b) \( (3x^4)^2 = 3^3 x^{4*2} = 9x^8 \)
c) \( (4a^2 b^{-5})^3 = 4^3 * a^{2*3} * b^{(-5)*3} = 64 a^6 * b^{-15} =\) \( \frac{64 * a^6}{b^{15}}\)
6) Potenzen mit positiver und negativer Basis:
|
\( (-a)^{2n} = a^{2n}\) .................... gerade Potenz \( (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}\)....... ungerade Potenz |
Beispiele:
a) \( (-7)^2 = 7^2 = 49\)
b) \( (-3)^3 = -3^3 = -27\)
7) Potenzieren von algebraischen Summen:
|
\( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \) ............................................... Quadrieren von Binomen \( (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b +3ab^2 \pm b^3\) ................................Kubieren von Binomen \( (a + b +c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2ac + 2bc \) ....Quadreiren von Trinomen |
Beispiele:
a) \( (-a -b)^2 = (-a)^2 +2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
b) \( (-a +b)^2 = (-a)^2 + 2(-a)b +b^2 = a^2 -2ab +b^2 \)
c) \( (-a + b)^3 = (-a)^3 +3(-a)^2b + 3(-a)b^2 + b^3 = -a^3 +3a^2b - 3ab^2 +b^3 \)
d) \( (-x+y-z)^2 = (-x)^2 + y^2 + (-z)^2 + 2(-x)y + 2(-x)(-z) + 2y(-z) = x^2 +y^2 + z^2 -2xy + 2xz - 2yz \)
e) \( (a - b)^3 = [(-1)(-a+b)]^3 = [(-1)(b-a)]^3 = (-1)^3(b-a)^3 = -(b-a)^3 \)
Radizieren (Wurzelziehen)
Umkehroperation des Potenzierens.
Begriffe:
|
\( \sqrt[3]{64} = 4 \) 3 = Wurzelexponent |
\( \sqrt[n]{a} = b \) .................................................................................. n-te Wurzel aus a
\( \sqrt[2]{16} = \pm 4 \) ..........................................................................2-te Wurzel (Quadratwurzel), n = 2
\( \sqrt[3]{8} = +2 \) sowie 2 weitere komplexe Wurzeln .......... 3-te Wurzel (Kubikwurzel) , n=3
\( \sqrt{-1} = i \) ......... imaginäre Einheit
Rechenregeln:
1) Zurückführen auf auf Potenzschreibweise:
|
\( \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) |
Beispiele:
a) \( \sqrt[3]{27} = 27^\frac{1}{3} = (3^3)^\frac{1}{3} = 3^{3\times\frac{1}{3}} = 3^1 =3 \)
b) \( \sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4\times\frac{1}{4}} = 2^1 =2 \)
2) Radizieren eines Produktes (Bruches):
|
\( \sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b} \) \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \) |
Beweis:
a) \( \sqrt[n]{a b} = (a b)^\frac{1}{n} = a^\frac{1}{n} * b^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b} \)
b) \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = (\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}} = \frac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Beispiele:
a) \( \sqrt{25 * 16} = \sqrt{25} * \sqrt{16} = 5 * 4 = 20\)
b) \( \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{3}{4}\)
3) Radizieren einer Potenz (Wurzel)
|
\( \sqrt[n]{a^m} = ( \sqrt[n]{a})^m = \sqrt[\frac{n}{m}]{a} \) \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n*m]{a}\) |
Beweis:
a) \( \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{m \frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} = a^\frac{1}{\frac{n}{m}} = \sqrt[\frac{n}{m}]{a} \)
b) \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n]{a^\frac{1}{m}} = (a^{\frac{1}{m}})^\frac{1}{n} = a^{\frac{1}{m} * \frac{1}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^\frac{1}{m} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\)
Beispiele:
a) \( \sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = 8^{2*\frac{1}{3}} 8^\frac{2}{3} = (2^3)^\frac{2}{3} = 2^{3*\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\)
b) \( \sqrt[8]{x^{12}} = x^{\frac{12}{8}} = x^\frac{3}{2} = \sqrt[2]{x^3}\)
c) \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2^6} } = \sqrt[3*2]{2^6} = \sqrt[6]{2^6} = (2^6)^\frac{1}{6} = 2^{6*\frac{1}{6}} = 2^1\)
d) \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{24}}} = \sqrt[4*3]{3^{24}} = \sqrt[12]{3^{24}} = 3^{\frac{24}{12}} = 3^2 = 9\)
4) Erweitern (kürzen) von Wurzelexponenten:
|
\( \sqrt[n]{ a^m} = \sqrt[n*k]{a^{m*k}}\) .......... Erweitern von Wurzelexponenten \( \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[\frac{n}{k}]{a^\frac{m}{k}}\) ............... Kürzen von Wurzelexponeneten |
Beweis:
\( \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m |*k}{n |*k} = a^\frac{m*k}{n*k} = \sqrt[n*k]{a^{m*k}}\)
\( \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m |:k}{n |:k} \) \(= a^{ \frac {\frac{m}{k}} {\frac{n}{k}} } \) \(= \sqrt[\frac{n}{k}]{a^\frac{m}{k}} \)
Beispiele:
a) \( \sqrt[6]{2} * \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{2} * \sqrt[3*2]{4^2} = \sqrt[6]{2 *4^2} = \sqrt[6]{32} \)
b) \( \sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3*2]{x^{2*2}} = \sqrt[6]{x^4}\)
c) \( \sqrt[8]{x^{12}} = \sqrt[\frac{8}{4}]{x^\frac{12}{4}} = \sqrt[2]{x^3} \)
d) \( \sqrt[4]{x^3} * \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[4*3]{x^{3*3}} * \sqrt[3*4]{x^{4*4}} = \sqrt[12]{x^9} * \sqrt[12]{x^{16}} = \sqrt[12]{x^9 * x^{16}} = \sqrt[12]{x^{24} * x} = \sqrt[12]{x^{24}} * \sqrt[12]{x} = x^{\frac{24}{12}} * \sqrt[12]{x} = x^2 * \sqrt[12]{x} \)
e) \( \sqrt{\frac{10 m^2 y}{3n x^3}} : \sqrt[4]{\frac{9 n^2 x}{2,56 m y^6}} = \sqrt[4]{\frac{10^2m^4y^2}{3^2n^2x^6}} : \sqrt[4]{\frac{9n^2x}{2,56my^6}} = \sqrt[4]{{\frac{10^2m^4y^2}{3^2n^2x^6}} * {\frac{2,56my^6}{9n^2x}}} = \sqrt[4]{\frac{10^2m^5y^8 *2,56}{9*9*n^4x^7}} = \sqrt[4]{{\frac{256m^4y^8}{3^4n^4x^4}} * {\frac{m}{x^3}}} = \frac{4my^2}{3nx} * \sqrt[4]{\frac{m}{x^3}}\)
5) Negativer Wurzelexponent:
|
\( \sqrt[-n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\frac{1}{a}} \) .......... reziproker Wert |
Beweis:
\( \frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \frac{a^0}{a^{\frac{1}{n}}} = a^{0-\frac{1}{n}} =a^{-\frac{1}{n}} = (a^{-1})^{\frac{1}{n}} = (\frac{1}{a})^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = (a^1)^{\frac{1}{-n}} = \sqrt[-n]{a}\)
Beispiele:
a) \( \sqrt[-3]{27} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}\)
b) \( \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{5}{216}}} \) \(= (\frac{5}{216})^{-\frac{1}{3}} \) \(= (\frac{5}{2^3 * 3^3})^{-\frac{1}{3}} = (2^{-3} *3^{-3} *5)^{-\frac{1}{3}} = 2^{(-3)*(-\frac{1}{3})} * 3^{(-3)*(-\frac{1}{3})} * 5^{-\frac{1}{3}} = 2^1 * 3^1 * 5^{-\frac{1}{3}} = 6 * \frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{6}{\sqrt[3]{5}}\)
6) Rationalmachen des Nenners:
Irrationale Nenner von Büchen werden zweckmäßigerweise rational gemacht.
Beispiele:
a) \( \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} * \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a * \sqrt{b}}{b}\)
b) \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} * \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1} = \sqrt{2} + 1\)
c) \( \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1 \)
7) Wurzeln aus negativen bzw. positiven Radikanden:
a)
\( \sqrt{4} = \pm 2\)
b)
\( \sqrt{-4} = \sqrt{(-1) * (4)} = i * (\pm 2) = \pm 2i \)
c)
| \( \sqrt[4]{16} =\) | \( \sqrt[2]{\sqrt[2]{16}} =\) | \( \sqrt{\pm 4} =\) |
\( \pm 2 \) \( \pm 2i \) |
| \( \sqrt[4]{-16} =\) | 4 komplexe | Wurzeln |
\( 2(\cos{45°}+i \sin{45°} ) \) \( 2(\cos{135°}+i \sin{135°} ) \) \( 2(\cos{225°}+i \sin{225°} ) \) \( 2(\cos{315°}+i \sin{315°} ) \) |
d)
| \( \sqrt[5]{32} =\) | + 2 reell, | 4 weitere Wurzeln komplex |
\( 2(\cos{72°}+i \sin{72°} ) \) \( 2(\cos{144°}+i \sin{144°} ) \) \( 2(\cos{216°}+i \sin{216°} ) \) \( 2(\cos{288°}+i \sin{288°} ) \) |
| \( \sqrt[5]{-32} =\) | - 2 reell, | 4 weitere Wurzeln komplex |
\( 2(\cos{36°}+i \sin{36°} ) \) \( 2(\cos{108°}+i \sin{108°} ) \) \( 2(\cos{252°}+i \sin{252°} ) \) \( 2(\cos{324°}+i \sin{324°} ) \) |
Wurzelziehen bei komplexen Zahlen
8) Wurzeln aus Radikanden, die sich um Zehner potenzen unterscheiden. (Wichtig beim Rechnen mit Rechenschieber)
Der Unterschied um geradzahlige Zehnerpotenzen bewirkt nur eine Verschiedenheit der Kommastellung beim Ziehen der Quadratwurzel:
\( \sqrt{ a * 10^{2n}} = \sqrt{a} * 10^{n} \)
| \( \sqrt{ 1,69 * 10^{-2}} = 1,3 * 10^{-1} \) | \( \sqrt{ 16,9 * 10^{-2}} = 4,111 * 10^{-1} \) |
| \( \sqrt{ 1,69 * 10^{0}} = 1,3 * 10^{0} \) | \( \sqrt{ 16,9 * 10^{0}} = 4,111 * 10^{0} \) |
| \( \sqrt{ 1,69 * 10^{2}} = 1,3 * 10^{1} \) | \( \sqrt{ 16,9 * 10^{2}} = 4,111 * 10^{1} \) |
| \( \sqrt{ 1,69 * 10^{4}} = 1,3 * 10^{2} \) | \( \sqrt{ 16,9 * 10^{4}} = 4,111 * 10^{2} \) |
| \( \sqrt{ 1,69 * 10^{6}} = 1,3 * 10^{3} \) | \( \sqrt{ 16,9 * 10^{3}} = 4,111 * 10^{3} \) |
Der Unterschied um Zehnerpotenzen von \( 10^{3n} \) bewirkt nur eine Verschiedenheit der Kommastellung beim Ziehen der Kubikwurzel:
\( \sqrt[3]{a * 10^{3n}} = \sqrt[3]{a}* 10^{n} \)
| \( \sqrt[3]{ 8 * 10^{-3}} = 2 * 10^{-1} \) | \( \sqrt[3]{ 80 * 10^{-3}} = 4,309 * 10^{-1} \) | \( \sqrt[3]{ 800 * 10^{-3}} = 9,283 * 10^{-1} \) |
| \( \sqrt[3]{ 8 * 10^{0}} = 2 * 10^{0} \) | \( \sqrt[3]{ 80 * 10^{0}} = 4,309 * 10^{0} \) | \( \sqrt[3]{ 800 * 10^{0}} = 9,283 * 10^{0} \) |
| \( \sqrt[3]{ 8 * 10^{3}} = 2 * 10^{1} \) | \( \sqrt[3]{ 80 * 10^{3}} = 4,309 * 10^{1} \) | \( \sqrt[3]{ 800 * 10^{3}} = 9,283 * 10^{1} \) |
| \( \sqrt[3]{ 8 * 10^{6}} = 2 * 10^{2} \) | \( \sqrt[3]{ 80 * 10^{6}} = 4,309 * 10^{2} \) | \( \sqrt[3]{ 800 * 10^{6}} = 9,283 * 10^{2} \) |
Logarithmieren
Begriffe:
|
\( ^{10} log (100) = 2 \) ..........Logarithmieren 10 ..... Basis \( 10^{2} = 100 \) ........................Potenzieren |
Der Logarithmus ist jene Hochzahl, mit der man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.
Dekadische Logarithmen
|
\( ^{10}log(30) = lg(3 * 10^{1}) =lg(3) + lg(10^{1}) = 0,47712 +1 = 1,47712\) \( ^{10}log(0,03) = lg(3 * 10^{-2}) =lg(3) + lg(10^{-2}) = 0,47712 -2 = -1,52288\) |
Die Mantissen (0,47712) sind echte Dezimalbrüche. Sie werden aus der Logarithmentfel entnommen. Die Mantissen sind gleich für alle Zahlen (Numeri), die sich nur durch die Stellung des Kommas unterscheiden. Die im oben angeführten Beispiel angeführten Zahlen +1 und -2 werden als Kennziffern bezeichnet und sind der Mantisse hinzu bzw, abzuziehen. Da im Computerzeitalter de facto niemand mehr mit Logarithmentabellen arbeitet, werde ich zu den Themen Entlogarithmieren oder die Interpolation von Logarithmen nicht mehr weiter darauf eingehen.
| \( y = ^{a}log (x)\) | \( x = a^{y} = ^{a}exp (y)\) ..... (exponentielle Schreibweise) | .......Logarithmusfunktion |
| \( y= a^{x} = ^{a} exp (x)\) | \( x = ^{a}log (y) \) ................... (logarithmische Schreibweise) | ........Exponentialfunktion |
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \( (= ^{a} exp)\),
die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion \( (= ^{a} log) \)
| \( a^{^{a}log(x)} = {^{a}exp(^{a} log (x))} = x\) | ......Exponentialfunktion, angewandt auf Logarithmusfunktion |
| \( ^{a}log(a^{x}) = {^{a}log(^{a}exp(x))} = x \) | .......Logarithmusfunktion, angewandt auf Eponentialfunktion |
Wenn man die Umkehrfunktion auf die Funktion anwendet, erhält man das Argument der Funktion.
Argument = Ausdruck, der unter dem Funktionszeichen steht.
Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion müssen gleiche Basis haben (ist Voraussetzung für die Umkehrfunktion !)
Die gebräuchlichsten Logarithmensysteme:
a) Briggscher (dekadischer) Logarithmus : lg
| \( 10^y = x \)...... | \( {^{10}log (x)} = lg(x) = y \) | Basis = 10 |
| \( 10^{-2} = 0,01 \) \( 10^{-1} = 0,1 \) \( 10^{0} = 1,0 \) \( 10^{1} = 10 \) \( 10^{2} = 100 \) |
\( lg (0,01) = lg (10^{-2}) = -2 \) \( lg (0,1) = lg (10^{-1}) = -1 \) \( lg (1,0) = lg (10^{0}) = 0 \) \( lg (10) = lg (10^{1}) = 1 \) \( lg (100) = lg (10^{2}) = 2 \) |
b) Natürlicher Logarithmus (Logarithmus Naturalis) : ln
| \( e^y = x \) | \( ^elog(x) = ln (x) = y \) | Basis = e = 2,7182818 |
| \( e^{-2} = 0,1353 \) \( e^{-1} = 0,3679 \) \( e^{0} = 1,0 \) \( e^{1} = 2,7182 \) \( e^{2} = 7,3889 \) |
\( ln (0,1353) = ln (e^{-2}) = -2 \) \( ln (0,3679) = ln (e^{-1}) = -1 \) \( ln (1,0) = ln (e^{0}) = 0 \) \( ln (2,7182) = ln (e^{1}) = 1 \) \( ln (7,3889) = ln (e^{2}) = 2 \) |
c) Binärer (dyadischer) Logarithmus : lb = ld
| \( 2^y = x \) | \( ^2log(x) = ld(x) = y \) | Basis = 2 |
| \(2^{-2} = 0,25\) \(2^{-1} = 0,5\) \(2^{0} = 1,0\) \(2^{1} = 2,0\) \(2^{2} = 4,0\) |
\(ld(0,25) = ld(2^{-2}) = -2\) \(ld(0,5) = ld(2^{-1}) = -1\) \(ld(1,0) = ld(2^{0}) = 0\) \(ld(2,0) = ld(2^{1}) = 1\) \(ld(4,0) = ld(2^{2}) = 2\) |
Rechenregeln für Logarithmen :
| \( log (x*y) = log(x) + log(y)\) \( log (\frac{x}{y}) = log(x) - log(y)\) \( log ({x^n}) = n * log(x)\) \( log (\sqrt[n]{x}) = log(x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} * log(x)\) |
Das sind im Prinzip die Regeln, die für das Rechnen mit Potenzen gleicher Basis gelten. Durch das Logarithmieren stellt man nämlich Potenzen mit gleicher Basis her, wobei die Logarithmieren die jeweilige Hochzahl für die gewählte einheitliche Pasis darstellen.
Beweis:
\( x = a^m \) .............. \( m = {^alog(x)} \)
\( y = a^n \) ............... \( n = {^alog(y)} \)
1) \( x * y = a^m * a^n = a^{m+n} \) | \({^alog} \)
\( ^alog(xy) = m+n = {^alog(x)} +{^alog(y)} \)
2) \( \frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(^alog \)
\( {^alog(\frac{x}{y})} = m - y = {^alog(x)} - {^alog(y)} \)
3) \( x^n = (a^m)^n = a^{n*m} \) | \( {^alog} \)
\( {^alog}(x^n) = n * m = n*{^alog(x)} \)
Beispiele:
a) \( log(\frac{7(ab^2)^3}{5c\sqrt[3]{d^2}}) = log(7) + log(ab^2)^3 - (log(5c) + log(\sqrt[3]{d^2})) = log(7) +3(log((a) + 2log(b)) - (log(5) + log(c) + \frac{2}{3} log(d)) \)
b) \( log(\frac{2a \sqrt{b}}{3c^3}) = log(2) + log(a) + log(\sqrt{b}) - (log(3) + log(c^3)= log(2) + log(a) + \frac{1}{2}log(b) -(log(3) + 3log(c)) \)
c) \( 2log(a) -\frac{1}{2}log(b) - log(a+b) = log(a^2) - log(b^\frac{1}{2}) - log(a+b) = log(a^2) - log(\sqrt{b}) - log(a+b) = log(\frac{a^2}{\sqrt{b}(a+b)})\)
d) \( 2log(x) - \frac{1}{2}(log(x) + log(y)) - log(x^2) = log(x^2) - \frac{1}{2}log(xy) - log(x^2) = log(x^2) - log(\sqrt{xy}) - log(x^2) = -log(\sqrt{xy}) = log(\sqrt{xy}^{-1}) = log(\frac{1}{\sqrt{xy}}) \)
Sinn und Zweck des Logarithmierens:
Vereinfachen der Rechenoperationen durch Herbeiführen von Potenzen gleicher Basis.
|
Multiplizieren → Addieren Dividieren → Subtrahieren Potenzieren → Multilizieren Radizieren → Dividieren |
\( a^m * a^n = a^{m+n}\) \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \( (a^m)^n = a^{m*n}\) \( \sqrt[n]{a^m} = a^{m * \frac{1}{n}}\) |
Anwendung der Logarithmen - Tafel:
Im Zeitalter von Computer und Taschenrechner haben Logarithmentabellen weitgehend an Bedeutung verloren. Wer sich dennoch dafür interessiert - weil er vielleicht noch an seinem liebgewonnen Rechenschieber hängt, sei auf die entsprechenden Wikipedia Seiten verwiesen.
Voraussetzung: Briggsche Logarithmen (= Zehnerlogarithmen)
1) Bestimmen von Logarithen (Logarithmieren):
Grundsatz: Numerus immer als Einergröße mal Zehnerpotenz darstellen:
Beispiele:
a)
\( lg 1,07 = lg(1,07 * 10^0) = lg 1,07 + lg 10^0 = 0,02938 \) .......... */Einerstelle ist Kennziffer */
\( lg 0,0107 = lg(1,07 * 10^{-2}) = lg 1,07 + lg 10^{-2} = 0,02938 -2\)
\( lg 1070 = lg(1,07 * 10^{3}) = lg 1,07 + lg 10^{3} = 0,02938 +3\)
b)
\( lg 0,004 = lg(4 * 10^{-3}) = lg 4,0 + lg 10^{-3} = 0,60206 -3\)
\( lg 40 = lg(4 * 10^{1}) = lg 4,0 + lg 10^{1} = 0,60206 +1\)
\( lg 400 = lg(4 * 10^{2}) = lg 4,0 + lg 10^{2} = 0,60206 +2\)
Bestimmen von Numeri (Entlogarithmieren = Antilogarithmieren entspricht der Exponentialfunktion zur Basis 10):
Grundsatz:
Im Tabellenbuch wird die Mantisse aufgesucht und dazu dann der zugehörige Numerus, der wie beim Logarithmieren zweckmäßigerweise immer als Einergröße mal Zehnerpotenz (Verwertung) der Kennziffer) dargestellt.
Beispiele:
a) \( lg(x) = 3,47857 \) → \( x = 3,010 * 10^3 = 3010 \)
b) \( lg(x) = 0,00087 -5) \) → \( x = 1,00201 * 10^{-5} = 0,0000100201\)
c) \( lg(x) = 0,92952 \) → \( x = 8,502 * 10^{0} = 8,502\)
Liniare Interpolation von Logarithmen:
Dient zur vollen Ausnutzung der Genauigkeit der Logarithmentafeln. Die liniare Interpolation ist die Ermittlung von Zwischenwerten mit Hilfe der Überlegung, dass in dem kleinen Intervall zwischen benachbarten Tabellenwerten die Differenz des Arguments x der Funktion mit guter Näherung proportional ist der Differenz der Funktionswerte y. Das bedeutet, die Funktion wird in diesem kleinen Intervall durch eine Gerade ersetzt.
a) Logarithmieren:
| $\begin{array}{c|c} \text{Numerus n} & \text{Logarithmus lg}\\ \hline \text{2513,4} & \text{?}\\ \text{ } & \text {}\\ \text{2514} & \text{3,40037}\\ \text{2513 } & \text{-3,40019}\\\text{ } & \text{= 0,000018 → D}\\ \text{2513,4} & \text{3,40019}\\\\ \text{ }& \text{+0,00007 → d}\\ \text{ }& \text{= 3,40026}\end{array}$ |
D → Differenz zweier aufeinanderfolgender Mantissen (Tafeldifferenz) |
b) Entlogarithmieren:
| $\begin{array}{c|c} \text{n} & \text{lg}\\ \hline \text{?} & \text{2,57318}\\ \text{ } & \text {}\\ \text{374,2} & \text{- 2,57310}\\ \text{} & \text{= 0,00008 → d}\\\text{ } & \text{ }\\ \text{} & \text{ }\\ \text{ }& \text{2,57322}\\ \text{ }& \text{- 2,57310}\\ \text{} & \text{= 0,00012 → D}\\ \text{} & \text{}\\ \text{374,2} & \text{2,57318}\\ \text{+ 0,07 → E} & \text{ }\\ \text{= 374,27}& \text{}\\ \end{array}$ |
D → Differenz zwwischen nächsthöherer und nachstniederer Mantisse ( Tafeldifferenz), |
Rechnen mit Dekadischen Logarithmen:
a) \( \frac{1}{300} = ?\)
$\begin{array}{c|c} \text{n} & \text{lg}\\ \hline \text{1} & \text{0,00000}\\ \text{} & \text{+3}\\ \text{300} & \text{-2,47712}\\ {3,3333 * 10^{-3}} & \text{= 0,52288 - 3}\\ \end{array}$
Im Logarithmen - Bereich rechnet man so, dass nur positive Logarithmen und ganzzahlige positive oder negative Kennziffern erscheinen
(= Binomcharakter der Logarithmen \( \widehat{=} \) Darstellen) Numeri als Einergröße mal Zehnerpotenz.
Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen:
Herleitung der Umrechnungsformel:
a) \( x = a^y \) | 1) \( ^a log \) 2) \(^b log\)
|
1) |
2) |
mit (1)(2): \( {^a}log (x) = \frac{{^b} log (x)}{{^b}log (a)}\)
| \( {^a}log (x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^b}log(x) \) ...................... Umrechnungsformel |
b)
\( x = a^{{^a}log(x)} = b^{{^b}log(x)} | * {^b}log \)
\( {^b}log(a^{{^a}log(x)}) = {^b}log(b^{{^b}log(x)}\)
\( {^a}log(x) * {^b}log(a) = {^b}log(x) * {^b}log(b) \)
| \( {^a}log(x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^blog(x)}\) |
c) Ansatz:
\( {^a}log(x) = k * {^b}log(x) \)
\( k = \frac{{^a}log(x)}{{^b}log(x)} == \frac{{^a}log(a)}{{^b}log(a)} = \frac{1}{{^b}log(a)}\)
| \( {^a}log(x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^blog(x)}\) |
Logarithmen mit verschiedener Basis sind zueinander proprtional (Proportionalitätsfaktor k).
Beispiele:
| a) Basis: a = 10; b = e | \( ^{10}log(x) = \frac{1}{{^e}log^{10}} * {^e}log(x)\) \( lg(x) = \frac{1}{ln(10)} * ln(x) = \frac{1}{2,3026} * ln(x) = 0,4343 * ln(x)\) |
| b) Basis: a = e; b =10 | \( {^e}log(x) = \frac{1}{{^{10}}log(e) * {^{10}}log(x)}\) \( ln(x) = \frac{1}{lg(e)} * lg(x) = \frac{1}{lg(2,712828)} * lg(x) = \frac{1}{0,4343} *lg(x) = 2,3026 * lg(x) \) |
| c) Basis: a = x = 2; b = 10 | \( {^2}log(x) = k * {^10}log(x) \) \( ld(x) = k * lg(x) \) \( k = \frac{ld(x)}{lg(x)} == \frac{ld(2)}{lg(2)} = \frac{1}{0,30103} = 3,321928\) |
| d) Basis: a = 10; b = x =2 | \( {^{10}}log(x) = k * {^2}log(x) \) \( k = \frac{^{10}log(x)}{^{2}log(x)} = \frac{lg(x)}{ld(x)} == \frac{lg(2)}{ld(2)} = \frac{0,30103}{1} = 0,30103\) |
Liebe Leser und Leserinnen - die hier im "Schnelldurchgang" abgearbeiteten sieben Grundrechnungsarten sind ein essentieller Teil der Mathematik. Wer sich für Mathematik interessiert oder vielleicht noch tiefer in die Mathematik einsteigen möchte, sollte die hier angeführten Grundregeln nicht nur gelesen und verstanden haben, sondern vorzugsweise auch jederzeit anwenden können.