Berechnen einer Kubikwurzel anhand dem Beispiel

\( \sqrt[3]{8} = z \)

Die kubische Wurzel von 8 hat drei komplexe Lösungen. Dies liegt daran, dass die Gleichung \( z^3 = 8 \) im Bereich der komplexen Zahlen drei Lösungen besitzt.

Die allgemeine Form lautet:

 \( z = \sqrt[3]{|r|} \cdot e^{i\frac{ \Theta + 2  \pi k}{3}}\), k=0,1,2. 

Hier ist r der Betrag und θ der Winkel im Polarkoordinatensystem.

Schritte:

1. Betrag und Winkel bestimmen: Der Betrag von 8 ist r=8. Der Winkel θ=0 (da 8 auf der positiven reellen Achse liegt). 
2. Die kubische Wurzel des Betrags: \( \sqrt[3]{8} = 2 \)
3. Die Lösungen berechnen: Die drei Lösungen ergeben sich durch die Rotation im komplexen Raum mit k=0,1,2:

\( z_{k} = 2 \cdot e^{i \frac{2 \pi k}{3}}\)

 Um die Werte explizit auszudrücken:

• Für k=0:

  \( z_{0} = 2 \cdot e^{i * 0} =  2 \)

• Für k=1:

  \( z_{1} = 2 \cdot e^{i \frac{2  \pi}{3}} = 2 (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + i\sqrt{3}\)

• Für k=2:

  \( z_{2} = 2 \cdot e^{i \frac{4  \pi}{3}} = 2 (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 - i\sqrt{3}\)

Zusammenfassung: Die drei Lösungen der kubischen Wurzel von 8 sind:  \(z_0 = 2;  z_1= −1 + i\sqrt{3};  z_2 = −1 −i\sqrt{3} \).

Die sieben Grundrechnungsarten der Mathematik.

Eigentlich sollten nach dem erfolgreichen Absolvieren der Schulpflicht die Grundrechnungsarten nicht nur bekannt sein, sondern von allen auch angewendet werden können. Aber wie beim Lesen und Schreiben, wo es angeblich eine nicht zu unterschätzende Anzahl an erwachsenen Personen geben soll, die des Lesens und Schreibens nicht mächtig sein sollen - vielleicht weil sie auch nur über Jahrzehnte hinweg weder Zeitungen noch Bücher gelesen haben, könnte es sein, dass bei dem einen oder anderen im Laufe der Jahre die eine oder andere Rechenregel in Vergessenheit geraten ist. Notorische Mathe Verweigerer werde möglicherweise hier überfordert sein. (Es ist schon eine Zumutung welche Sch.... heutzutage über das Privatfernsehen verbreitet wird.)

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Addieren

Begriffe:

\(  5        +         4         =         9\)

Die beiden zusammen zu zählenden Zahlen werden dabei als Summanden, das berechnete Ergebnis als Summe bezeichnet.

Gesetze:

 Vertauschungsgesetz (Kommutatives Gesetz):

\(a + b = b + a\)

Verbindungsgesetz (Assoziatives Gesetz):

\( a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = b + ( a + c ) \)

Beispiele:

a) \(1,8 x + 2,2 x + 3,4 y + 4,6 y = 4 x + 8 y\)

b) \( 2,3 + (1,8 + 0,7) = 2,3 + 1,8 + 0,7  = (2,3 + 0,7) + 1,8 = 3 + 1,8 = 4,8 \)

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Subtrahieren

Begriffe:

\( 9 - 7 = 2\)  
(Minuend - Subtrahend = Differenz)

Gesetze und Regeln:

1. Das Vertauschungsgesetz gilt nicht: \(a - b \neq b - a\)
2. Klammer - Regeln

\(a + (b - c) = a + b - c\)	Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen steht, kann weggelassen werden
\(a - ( b - c ) = a - b + c\)	Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, kann man weglassen, wenn man die Vorzeichen der einzelnen Glieder des Klammerausdrucks wechselt.

Algebraische Summe:

Die algebraische Summe ist eine Folge von Additionen und Subtraktionen allgemeiner Zahlen.

\(a + b - c + d\)

Die Subtraktion kann formal als Addition dargestellt werden, indem man die Operationszeichen als Vorzeichen interpretiert.

 \( (+ a) + (+b) + (-c) + (+d)\)

Die Reihenfolge der Glieder einer algebraischen Summe ist beliebig.

\( a - b + c = c + a - b = -b +a + c\)

Beispiele:

a)
\( 25 - ( 7 + 3 - 5 ) = 25 -7 - 3 + 5\)

b)
\( 20 - (6 - 3 + 1) - [ 15 - 2 - ( 3 - 7)] = 20 - (4) - [13 - (-4)] = 16 - [17] = -1\)

c)
\([(32a + 4b) - (14a - 5b)] - [18a + (5a - 3b) - (4a + 8b)] = \)
\([32a + 4b - 14a + 5b] - [18a + 5a - 3b - 4a - 8b] = \)
\([18a + 9b] - [19a - 11b] = \)
\(18a + 9b -19a +11b =\)
\(-a + 2ab\)

d)
\(12 - \{6 - [5 - 2 -(1 - 7 +2)]\} =\)
\( 12 - \{6 - [3 - (-4)]\} =\)
\(12 - \{6 - [3 + 4]\} =\)
\(12 - \{6 - 7\} =\)
\(12 - (-1) = 13\)

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Multiplizieren

Begriffe:

\( 3 * 4 = 12\)

Multiplikand * Multiplikator = Produkt

Multiplikand und Multiplikator werden oft auch als Faktoren bezeichnet.

Die Multiplikation stellt die Addition mehrerer gleicher Summanden dar.

\(4 * 3 = 12\)	\(3 + 3 + 3 + 3 = 12\)
\(3 * 4 = 12\)	\(4 + 4 + 4 = 12 \)

Gesetze und Regeln:

1) Kommutatives Gesetz: a *  b = b * a

2) Assoziatives Gesetz: (a  *  b)  *  c = a *  ( b *  c) = (a * c) * b = a * b * c

3) Verteilungsgesetz (Distributives Gesetz): \( (a \pm b) * c = a c \pm b c \)

4) Vorzeichenregeln:

\((+a) * (+b) = +ab\)	\((-a) * (+b) = -ab \)
\((-a) * (-b) = +ab\)	\((+a) * (-b) = -ab \)

5) Ist der Wert eines Produktes Null , so muss mindestens ein Faktor 0 sein. \( a* b = 0\) etweder \( a = 0\) oder \(b = 0\).

6) Multiplikation  von Polynomen (= mehrgliedrige Ausdrücke):  \( (a - b) * (c -d) = ac - ad - bc + bd\)
Formel: \((a+b)(a-b) = a^2 -b^2\)

Beispiele:

a) 3a *  4b *  2c = 24abc

b) (+4x) (-5y) = -20xy

c) (-7m) (-3n) = 21 mn

d) (6+5) (7-4) = 6*7 + 6*(-4) +5*7 +5*(-4) = 42 - 24 + 35 - 20 = 33

e) (3x + 4y - 5z) (2x - 3y + z) = 3x2x + 4y2x - 5z2x +3x(-3y) + 4y(-3y) - 5z(-3y) + 3xz + 4yz - 5z*z = 6x² -xy - 7xz - 12y² + 19yz - 5z²

f) (u + v - w) (x - y) = ux + vx - wx - uy - vy +wy

g) (x + y) (x - y) = x*x + yx - xy - y*y = x² - y²

h) (4x² - 3x + 2) (x + 1) = 4x³ - 3x² + 2x + 4x² - 3x + 2 = 4x³ + x² - x + 2

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Dividieren

Begriffe:

\( 12 : 4 = 3\)

Dividend : Divisor = Quotient

\({12 (Zähler)}\over{4 (Nenner)}\) \(= {3 (Bruch)}\)

Gesetze und Regeln:

1) Das Vertauschungsgesetz gilt nicht: \( {a \over b} \ne {b \over a}\)  ........... "reziprok" zueinander

2) Null als Divisor (Nenner) ist unzulässig: \( {a \over 0} = \infty \)

3) Vorzeichenregeln: 

\((+a) : (+b) = +{a \over b}\)	\((-a) : (+b) = -{a \over b} \)
\((-a) : (-b) = +{a \over b}\)	\((+a) : (-b) = -{a \over b} \)

4) Distributives Gesetz: \( (a \pm b) : c = {a \over c} \pm {b \over c} \) ........ "Ausdividieren einer algebraischen Summe"

5) Polynomdivision: 

\( (4x^3 + x^2 - x + 2) : (x + 1) = 4x^2 - 3x + 2\)
 ..\( 4x^3 + 4x^2\)
..______________
....--.....\(- 3x^2 - x + 2\)
...........\(-3x^2 - 3x\)
..............____________
................--..........\(2x + 2\)
.............................\(2x + 2\)
...........................______________
................................--.......--

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250 Jahre Schulpflicht in Österreich.

Die österr. Kaiserin Maria Theresia hat nicht nur die Folter abgeschafft sondern 1774, also vor 250 Jahren, eine sechs jährige Schulpflicht eingeführt - was zweifelsohne als Meilenstein angesehen werden kann. Anfangs ging nur jedes dritte Kind zur Schule. Fast 1 Jahrhundert später, 1869 stellte das Reichsvolksschulgesetz das gesamte Pflichtschulwesen auf eine einheitliche Basis, die Schulpflicht wurde von sechs auf acht Jahre erhöht. Soweit mir errinnerlich ist, wurden in meinem Jahrgang noch Kinder die gesamte Pflichtschulzeit, also acht Jahre an der Volksschule unterrichtet. Der Mathematikunterricht hat sich dabei auf das Erlernen der vier Grundrechnungsarten Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren beschränkt.  Abgesehen von den algebraischen Ausdrücken, das Rechnen mit Buchstaben entsprechen die Ausführungen im Wesentlichen den vorhin genannten vier Grundrechnungsarten. Auch die Polynomdivision war mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht Gegenenstand des damaligen Volksschulunterrichts. Da stellt sich die Frage, ist das nicht recht bescheiden was hier in acht Jahren an Mathematik Kenntnissen den Schüler:innen vermittelt wurde?? Nun möglicherweise hatte Mathematik zu der Zeit noch nicht den Stellenwert und es gab andere Prioritäten, wie beispielsweise das Kathechismuslesen oder auch im Fach Mädchen- und Knabenhadarbeit praktische Erfahrung fürs alltägliche Leben zu sammeln. Ja und die Züchtigung mit dem Stock und die "gesunde" Watschen haben  natürlich nicht als Folter gegolten.

Bruchrechnen

1) Einteilung der Brüche:

gemeine Brüche echte ...............................................\( {2} \over {3}\), \( {5} \over {7}\), \( {3} \over {8}\) unechte ..........................................\( {5} \over {3}\), \( {8} \over {5}\), \( {11} \over {7}\) gemischte ......................................\( 2 {3 \over 4} =\) \(2 + {3 \over 4}\), \( 1 {2 \over 3} =\) \(1 + {2 \over 3}\) Dezimalbrüche vollständige....................................\(0,25\) periodische rein periodische .................\( 0,\overline{3} = 0,3333.....\) ; \( 0,\overline{35} = 0,353535.....\) gemischt periodische ........\( 0,4\overline{35} = 0,43535.....\)

2) Das kleinste gemeinsame Vielfache:

Ist für das "Erweitern von Brüchen" zur Auffindung des kleinsten gemeinsamen Nenners notwendig.

Primfaktorenzerlegung: alle Primfaktoren in höchster Potenz sind maßgebend

V (24, 40a, 30b) = 2³ * 3 *  5 * a * b = 120ab

$$ \begin{array}{c|c} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|c} 40a & a \\ 40 & 2 \\ 20 & 2 \\10 &2 \\5 &5 \\ 1 & \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|c} 30b & b \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} $$

Erweiterungsfaktoren:

\({120ab}\over{24}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2^3 * 3}\)  \({=} \) \({5ab}\)

\({120ab}\over{40a}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2^3 * 5 * a}\)  \({=} \) \({3b}\)

\({120ab}\over{30b}\) \( {=}\) \( {2^3 * 3 * 5 * a * b}\over{2 *3 * 5 * b}\)  \({=} \) \({2^2 a}\) \({=} \) \({4a}\)

3) Der größte gemeinsame Teiler:

Ist für das "Kürzen von Brüchen" notwendig.

Primfaktorenzerlegung: gemeinsame Primfaktoren in niedrigster Potenz sind maßgebend.

T (48, 84) = 2² * 3 = 12

$$ \begin{array}{c|c} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{c|c} 84 & 2 \\ 42 & 2 \\ 21 & 3 \\7 &7 \\ 1 & \\ \end{array} $$

Kürzungsquotienten:

\({48}\over{12}\) \( {=}\) \( {2^4 * 3}\over{2^2 * 3}\)  \({=} \) \({2^2}\)\({=} \) \( 4 \)

\({84}\over{12}\) \( {=}\) \( {2^2 * 3 * 7}\over{2^2 * 3}\)  \({=} \) \({7}\)

\({48:12}\over{84:12}\) \( {=}\) \( {4}\over{7}\)

4) Erweitern von Brüchen:

\( {a}\over{b}\) \(=\) \({a * n}\over{b * n} \)

Beispiele:

a) \( {2}\over{3}\) \(=\) \({2 * 2}\over{3 * 2} \) \(=\)  \( {4}\over{6}\)

b) \( {6}\over{10}\) \(=\) \({6 * 2}\over{10 * 2} \) \(=\)  \( {12}\over{20}\)

5) Kürzen von Brüchen:

\( {a \over b}\) \(=\) \({ { a \over n} \over {b \over n}} \)

Beispiele:

a) \( {9 \over 15} | :3 = {3 \over 5}\)

b) \( {6 \over 10} | :2 = {3 \over 5}\)

c) \({{wyz} \over {wy}} | :y = {{wz} \over {w}}\)

6) Addieren (Subtrahieren) von Brüchen:

Voraussetzung: gemeinsamer Nenner

\( {a \over c} \pm {b \over c} = {{a \pm b} \over c} \) \( {{a \over c} \pm {b \over d}} = {{ad} \over {cd}} \pm {{bc} \over {cd}} = {{{ad} \pm {bc}} \over {cd}} \)

Beispiele:

a) \( {{1 \over 3} + {4 \over 3} - {2 \over 3}} = {{1 + 4 - 2} \over 3} = {3 \over 3} = 1\) 

b) \( {{1 \over 3} + {1 \over 4}} = \) \( {{1*4}\over {3*4}} \) \(+\) \( {{1*3} \over {4*3}} \) \( = \) \( {{4 + 3} \over {3 *4}} =\) \( {{7} \over {12}} \)

c) \( {1 \over 3} + {1 \over 6} + {1 \over 9} + {1 \over 12} + {1 \over 18} =\) \( {{12 + 6 + 4 + 3 + 2} \over {36}} = \) \({ 27 \over 36} = {3 \over 4} \)

d) \( {3 \over 7} - {1 \over 6} + {1 \over 3} = {{18 - 7 +14} \over 42} = {25 \over 42} \)

7) Mulltiplizieren von Brüchen:

\( {a \over b} c = {{a c} \over b} \) \( {a \over b}  * {c \over d} = {{a c} \over {b d }} \)

Beispiele:

a) \(  {3 \over 4} * 5 = {{3 * 5} \over 4} = {15 \over 4} \)

b) \({1 \over 5} * {7 \over 4} = {{ 1 * 7} \over { 5 * 4}} = {7 \over 20} \)

c) \({{3 a} \over {4 b}} * {5 \over c} = {{ 15 * a} \over {4 * bc }} \)

8) Dividieren von Brüchen:

Multiplizieren mit dem Kehrwert (reziproken Wert) des Divisors.

\( {{a \over b} : c} = {{a \over b} * {1 \over c}} = { a \over{b * c}} \)	.......... \({{ a \over b} \over c} = { a \over { b c}} \)
\( {{a \over b} : {c \over d }} = {{a \over b} * {d \over c }} = {{a d} \over {b c }} \)	.......... \( {{a \over b} \over {c \over d}} = {{a d} \over {b c}} \)   (Doppelbruch)

Beispiele:

a) \({3 \over 7} : {{-2} \over 5} = { 3 \over 7} * { 5 \over {-2}} = {{3 * 5} \over {7 * (-2) }} = {-} {15 \over 14} \)

b) \( ({3 \over 4}  x - {2 \over 3} y) : ( {x \over 2} - {y \over 4}) = {{9x - 8y}\over 12} : {{2x - y} \over 4} = {{9x - 8y}\over 12} * {4 \over {2x -y}} = {{9x -8y} \over{3(2x -y)}}\)

c) \({{a-2} \over {2a -1}} - {3 \over 2} = {{(a-2) 2 - 3(2a-1)} \over {(2a - 1)2}} = {{2a - 4 -6a +3} \over {4a - 2}} = {{-4a -1}\over {4a - 2}} = {{-1(4a+1)}\over{-1(2 - 4a)}} = {{1 + 4a}\over{2 - 4a}} \)

d) \(  { { { 1\over a } - { 1 \over b} } \over { { 1\over a } + {1 \over b} } } \) = \(  { { {b - a} \over { a b} } \over { { b + a} \over { a b} } } \) = \( ({{b - a} \over {a b}}) ({{a b}\over{b + a}})\) = \( {{b - a}\over{b + a}} \)

e) \( 4 {1 \over 3} : 6 = (4 + {1 \over 3}) : 6 = {{12 + 1} \over 3} :6 = ({13 \over 3}) ({1 \over 6}) = {13 \over 18} \)

Proportion:

Ist eine Beziehung, die die Gleichheit zweier Verhältnisse zum Ausdruck bringt.

\(  a : b = c : d \)	.......... Normalform
\( {a \over b} = {c \over d} \)	.......... Bruchform

Auflösung:

\( a : b = c : d \)

\({a \over b} = {c \over d}\)

\( a * d = c * b\) .......Produkt der Außenglieder = Produkt der Innenglieder

\( c = {{a * d}\over b} \)

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Potenzieren

Begriffe:

\( 3^4 = 81 \) 3 = Basis / Grundzahl 4 = Exponent / Hochzahl 81 = Numerus / Zahl

\( 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3\) ......... 4 gleiche Faktoren

\( a^n = b \) ............................... n - te Potenz von a

Die Potenz stellt die Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren dar (= kurzschreibweise)

Verwandte Rechenoperationen:

Je nachdem, welche von den 3 Größen ( a, n, b) bekannt sind und welche Größe gesucht wird, handelt es sich sich um eine der verwandten Operationen. Diese werden auch als höhere Grundrechnungsarten bezeichnet.

\( b = a^n\) ................Potenzieren

\( a = \sqrt[n]{b}\) ..............Radizieren

\( n = \log_a(b)\) ......Logarithmieren

Rechenregeln:

1) Addition (Subtraktion) von Potenzen:

Voraussetzung: gleiche Basis, gleicher Exponent

Beispiele:

a) \( 12x^2 -5x^2 + 3x^2 = 10x^2 \)

b) \(  5a^2 -3b -2a^2 + 5b = 3a^2 + 2b\)

2) Multiplikation (Division) von Potenzen gleicher Basis:

\( a^m * a^n = a^{(m+n)} \) \( { a^m \over a^n}\)\( = a^{(m-n)} \)

Beispiele:

a) \( 2^3 * 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32 \)

b) \(2^3 : 2^2 = 2^{3-2} = 2^1 = 2 \)

c) \(a^x : a^{yz} = a^{x-yz} \)

3)Potentieren von Produkten (Brüchen):

\( (a * b)^n = a^n * b^n \) \( ( \frac{a}{b})^n\) \(=\) \( \frac{a^n}{b^n}\)

Beispiele:

a) \( {(6x * 5y)}^2 = 6^2 * x^2 * 5^2 * y^2 = 36x^2 * 25y^2 = 900x^2y^2 \)

b) \( {(\frac{2a}{3b})}^3 * (\frac{3b^2}{5a^2})^2\)\( =\)\( {\frac{2^3 * a^3}{3^3 * b^3}} * {\frac{3^2 * b^4}{5^2 * a^4}}\)\( =\) \( \frac{8 b}{75 a}\)

4) Potenzen mit negativen Exponenten:

\( a^{(-n)} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n \) .............Kehrwert (reziproker Wert) \( (\frac{a}{b}) ^{-n}\) \( =\) \( {1 \over {(\frac{a}{b})}^n } \) \(=\) \( (\frac{b}{a})^n\) ..... Kehrwert (reziproker Wert) \( a^0 = 1 ......... (a \ne 0)\)

Beweis:

a) \( \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n}\)   .......... \(  1 = a^0\)

b) \( \frac{1}{a^n} = \frac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n} \)

Beispiele:

a) \( x^{-3} = \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x * x * x}\)

b) \( \frac{1}{4^5} = \frac{4^0}{4^5} = 4^{0-5} = 4^{-5}\)

c) \(  (\frac{5}{4})^{-3} = (\frac{4}{5})^3\)

d) \(  a^{x-2} : a^x = a^{(x-2)-x} = a^{-2} = \frac{1}{a^2}\)

e) \( 5 a^{x+3} * 4 a^{-x} * 3 a^{-3} = 5 * 4 * 3 * a^{(x+3)-x-3} = 60 * a^0 = 60\)

5) Potenzieren von Potenzen:

\( (a^m)^n = a^{m*n}  = a^{n*m} = (a^n)^m \)

Beispiele:

a) \(  (3^2)^3 = 3^{2*3} = 3^6 = 729 \) 

b) \(  (3x^4)^2 = 3^3 x^{4*2} = 9x^8 \)

c) \( (4a^2 b^{-5})^3 =  4^3 * a^{2*3} * b^{(-5)*3} = 64 a^6 * b^{-15} =\) \( \frac{64 * a^6}{b^{15}}\)

6) Potenzen mit positiver und negativer Basis:

\(  (-a)^{2n} = a^{2n}\) .................... gerade Potenz \(  (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1}\)....... ungerade Potenz

Beispiele:

a) \(  (-7)^2 = 7^2 = 49\)

b) \(  (-3)^3 = -3^3 = -27\)

7) Potenzieren von algebraischen Summen:

\( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \) ............................................... Quadrieren von Binomen \(  (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b +3ab^2 \pm b^3\) ................................Kubieren von Binomen \(  (a + b +c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2ab + 2ac + 2bc \) ....Quadreiren von Trinomen

Beispiele:

a) \( (-a -b)^2 = (-a)^2 +2(-a)(-b) + (-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

b) \( (-a +b)^2 = (-a)^2 + 2(-a)b +b^2 = a^2 -2ab +b^2 \)

c) \( (-a + b)^3 = (-a)^3 +3(-a)^2b + 3(-a)b^2 + b^3 = -a^3 +3a^2b - 3ab^2 +b^3 \)

d) \( (-x+y-z)^2 = (-x)^2 + y^2 + (-z)^2 + 2(-x)y + 2(-x)(-z) + 2y(-z) = x^2 +y^2 + z^2 -2xy + 2xz - 2yz \)

e) \( (a - b)^3 = [(-1)(-a+b)]^3 = [(-1)(b-a)]^3 = (-1)^3(b-a)^3 = -(b-a)^3 \)

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Radizieren (Wurzelziehen)

Umkehroperation des Potenzierens.

Begriffe:

\( \sqrt[3]{64} = 4 \) 3 = Wurzelexponent 64 = Radikand 4 = Wurzel

\( \sqrt[n]{a} = b \) .................................................................................. n-te Wurzel aus a

\( \sqrt[2]{16} = \pm 4 \) ..........................................................................2-te Wurzel (Quadratwurzel), n = 2

\( \sqrt[3]{8} = +2 \)  sowie 2 weitere komplexe Wurzeln .......... 3-te Wurzel (Kubikwurzel) , n=3

\(  \sqrt{-1} = i \) ......... imaginäre Einheit

Rechenregeln:

1) Zurückführen auf auf Potenzschreibweise:

\(  \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)

Beispiele:

a) \( \sqrt[3]{27} = 27^\frac{1}{3} = (3^3)^\frac{1}{3} = 3^{3\times\frac{1}{3}} = 3^1 =3 \)

b) \( \sqrt[4]{16} = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^{4\times\frac{1}{4}} = 2^1 =2 \)

2) Radizieren eines Produktes (Bruches):

\( \sqrt[n]{a b} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b} \) \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)

Beweis:

a) \( \sqrt[n]{a b} = (a b)^\frac{1}{n} = a^\frac{1}{n} * b^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{b} \)

b) \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = (\frac{a}{b})^{\frac{1}{n}} = \frac{a^\frac{1}{n}}{b^\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

Beispiele:

a) \( \sqrt{25 * 16} = \sqrt{25} * \sqrt{16} = 5 * 4 = 20\)

b) \( \sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} =  \frac{3}{4}\)

3) Radizieren einer Potenz (Wurzel)

\( \sqrt[n]{a^m}  = ( \sqrt[n]{a})^m = \sqrt[\frac{n}{m}]{a} \) \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n*m]{a}\)

Beweis: 

a) \( \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{m \frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} = a^\frac{1}{\frac{n}{m}} = \sqrt[\frac{n}{m}]{a} \)

b) \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n]{a^\frac{1}{m}} = (a^{\frac{1}{m}})^\frac{1}{n} = a^{\frac{1}{m} * \frac{1}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^\frac{1}{m} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\)

Beispiele:

a) \( \sqrt[3]{8^2} = (8^2)^{\frac{1}{3}} = 8^{2*\frac{1}{3}} 8^\frac{2}{3} = (2^3)^\frac{2}{3} = 2^{3*\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\)

b) \(  \sqrt[8]{x^{12}} = x^{\frac{12}{8}} = x^\frac{3}{2} = \sqrt[2]{x^3}\)

c) \( \sqrt[3]{\sqrt[2]{2^6} } = \sqrt[3*2]{2^6} = \sqrt[6]{2^6} = (2^6)^\frac{1}{6} = 2^{6*\frac{1}{6}} = 2^1\)

d) \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{24}}} = \sqrt[4*3]{3^{24}} = \sqrt[12]{3^{24}} = 3^{\frac{24}{12}} = 3^2 = 9\)

4) Erweitern (kürzen) von Wurzelexponenten:

\( \sqrt[n]{ a^m}  = \sqrt[n*k]{a^{m*k}}\) .......... Erweitern von Wurzelexponenten \( \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[\frac{n}{k}]{a^\frac{m}{k}}\) ............... Kürzen von Wurzelexponeneten

Beweis:

\( \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m |*k}{n |*k} = a^\frac{m*k}{n*k} = \sqrt[n*k]{a^{m*k}}\)

\( \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m |:k}{n |:k} \) \(= a^{ \frac {\frac{m}{k}} {\frac{n}{k}} } \) \(= \sqrt[\frac{n}{k}]{a^\frac{m}{k}} \)

Beispiele:

a) \( \sqrt[6]{2} * \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{2}  * \sqrt[3*2]{4^2} = \sqrt[6]{2 *4^2} = \sqrt[6]{32} \)

b) \( \sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3*2]{x^{2*2}} = \sqrt[6]{x^4}\)

c) \( \sqrt[8]{x^{12}} = \sqrt[\frac{8}{4}]{x^\frac{12}{4}} = \sqrt[2]{x^3} \)

d) \( \sqrt[4]{x^3} * \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[4*3]{x^{3*3}} * \sqrt[3*4]{x^{4*4}} = \sqrt[12]{x^9} * \sqrt[12]{x^{16}} = \sqrt[12]{x^9 * x^{16}} = \sqrt[12]{x^{24} * x} = \sqrt[12]{x^{24}} * \sqrt[12]{x} = x^{\frac{24}{12}} * \sqrt[12]{x} = x^2 * \sqrt[12]{x} \)

e) \( \sqrt{\frac{10 m^2 y}{3n x^3}} : \sqrt[4]{\frac{9 n^2 x}{2,56 m y^6}} = \sqrt[4]{\frac{10^2m^4y^2}{3^2n^2x^6}} : \sqrt[4]{\frac{9n^2x}{2,56my^6}} = \sqrt[4]{{\frac{10^2m^4y^2}{3^2n^2x^6}} * {\frac{2,56my^6}{9n^2x}}} = \sqrt[4]{\frac{10^2m^5y^8 *2,56}{9*9*n^4x^7}} = \sqrt[4]{{\frac{256m^4y^8}{3^4n^4x^4}} * {\frac{m}{x^3}}} = \frac{4my^2}{3nx} * \sqrt[4]{\frac{m}{x^3}}\)

5) Negativer Wurzelexponent:

\( \sqrt[-n]{a} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\frac{1}{a}} \) .......... reziproker Wert

Beweis:

\( \frac{1}{\sqrt[n]{a}} = \frac{a^0}{a^{\frac{1}{n}}} = a^{0-\frac{1}{n}} =a^{-\frac{1}{n}} = (a^{-1})^{\frac{1}{n}} = (\frac{1}{a})^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = (a^1)^{\frac{1}{-n}} = \sqrt[-n]{a}\)

Beispiele:

a) \( \sqrt[-3]{27} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}\)

b) \( \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{5}{216}}} \) \(= (\frac{5}{216})^{-\frac{1}{3}} \) \(= (\frac{5}{2^3 * 3^3})^{-\frac{1}{3}} = (2^{-3} *3^{-3} *5)^{-\frac{1}{3}} = 2^{(-3)*(-\frac{1}{3})} * 3^{(-3)*(-\frac{1}{3})} * 5^{-\frac{1}{3}} = 2^1 * 3^1 * 5^{-\frac{1}{3}} = 6 * \frac{1}{\sqrt[3]{5}} = \frac{6}{\sqrt[3]{5}}\)

6) Rationalmachen des Nenners:

Irrationale Nenner von Büchen werden zweckmäßigerweise rational gemacht.

Beispiele:

a) \( \frac{a}{\sqrt{b}}  = \frac{a}{\sqrt{b}} * \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a * \sqrt{b}}{b}\)

b) \( \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} * \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1} = \sqrt{2} + 1\)

c) \( \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1 \)

7) Wurzeln aus negativen bzw. positiven Radikanden:

a)

\(  \sqrt{4} = \pm 2\)

b)

\( \sqrt{-4} = \sqrt{(-1) * (4)} = i * (\pm 2) = \pm 2i \)

c)

\( \sqrt[4]{16} =\)	\( \sqrt[2]{\sqrt[2]{16}} =\)	\( \sqrt{\pm 4} =\)	\( \pm 2 \) \( \pm 2i \)
\( \sqrt[4]{-16} =\)	4 komplexe	Wurzeln	\( 2(\cos{45°}+i \sin{45°} ) \)   \( 2(\cos{135°}+i \sin{135°} ) \)                       \( 2(\cos{225°}+i \sin{225°} ) \)   \( 2(\cos{315°}+i \sin{315°} ) \)

d)

\( \sqrt[5]{32} =\)	+ 2 reell,	4 weitere Wurzeln komplex	\( 2(\cos{72°}+i \sin{72°} ) \)   \( 2(\cos{144°}+i \sin{144°} ) \)                       \( 2(\cos{216°}+i \sin{216°} ) \)   \( 2(\cos{288°}+i \sin{288°} ) \)
\( \sqrt[5]{-32} =\)	- 2 reell,	4 weitere Wurzeln komplex	\( 2(\cos{36°}+i \sin{36°} ) \)   \( 2(\cos{108°}+i \sin{108°} ) \)                       \( 2(\cos{252°}+i \sin{252°} ) \)   \( 2(\cos{324°}+i \sin{324°} ) \)

Wurzelziehen bei komplexen Zahlen

8) Wurzeln aus Radikanden, die sich um Zehner potenzen unterscheiden. (Wichtig beim Rechnen mit Rechenschieber)

Der Unterschied um geradzahlige Zehnerpotenzen bewirkt nur eine Verschiedenheit der Kommastellung beim Ziehen der Quadratwurzel:

\( \sqrt{ a * 10^{2n}} = \sqrt{a}  * 10^{n} \)

\( \sqrt{ 1,69 * 10^{-2}} = 1,3  * 10^{-1} \)	\( \sqrt{ 16,9 * 10^{-2}} = 4,111  * 10^{-1} \)
\( \sqrt{ 1,69 * 10^{0}} = 1,3  * 10^{0} \)	\( \sqrt{ 16,9 * 10^{0}} = 4,111  * 10^{0} \)
\( \sqrt{ 1,69 * 10^{2}} = 1,3  * 10^{1} \)	\( \sqrt{ 16,9 * 10^{2}} = 4,111  * 10^{1} \)
\( \sqrt{ 1,69 * 10^{4}} = 1,3  * 10^{2} \)	\( \sqrt{ 16,9 * 10^{4}} = 4,111  * 10^{2} \)
\( \sqrt{ 1,69 * 10^{6}} = 1,3  * 10^{3} \)	\( \sqrt{ 16,9 * 10^{3}} = 4,111  * 10^{3} \)

Der Unterschied um Zehnerpotenzen von \( 10^{3n} \) bewirkt nur eine Verschiedenheit der Kommastellung beim Ziehen der Kubikwurzel:

\( \sqrt[3]{a * 10^{3n}} = \sqrt[3]{a}* 10^{n} \)

\( \sqrt[3]{ 8 * 10^{-3}} = 2 * 10^{-1} \)	\( \sqrt[3]{ 80 * 10^{-3}} = 4,309 * 10^{-1} \)	\( \sqrt[3]{ 800 * 10^{-3}} = 9,283 * 10^{-1} \)
\( \sqrt[3]{ 8 * 10^{0}} = 2 * 10^{0} \)	\( \sqrt[3]{ 80 * 10^{0}} = 4,309 * 10^{0} \)	\( \sqrt[3]{ 800 * 10^{0}} = 9,283 * 10^{0} \)
\( \sqrt[3]{ 8 * 10^{3}} = 2 * 10^{1} \)	\( \sqrt[3]{ 80 * 10^{3}} = 4,309 * 10^{1} \)	\( \sqrt[3]{ 800 * 10^{3}} = 9,283 * 10^{1} \)
\( \sqrt[3]{ 8 * 10^{6}} = 2 * 10^{2} \)	\( \sqrt[3]{ 80 * 10^{6}} = 4,309 * 10^{2} \)	\( \sqrt[3]{ 800 * 10^{6}} = 9,283 * 10^{2} \)

Logarithmieren

Begriffe:

\( ^{10} log (100) = 2 \) ..........Logarithmieren 10 ..... Basis 100 ... Numerus (Zahl, Logarithmand) 2......... Logarithmus \( 10^{2} = 100 \) ........................Potenzieren

Der Logarithmus ist jene Hochzahl, mit der man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten.

Dekadische Logarithmen

\( ^{10}log(30) = lg(3 * 10^{1}) =lg(3) + lg(10^{1}) = 0,47712 +1 = 1,47712\) \( ^{10}log(0,03) = lg(3 * 10^{-2}) =lg(3) + lg(10^{-2}) = 0,47712 -2 = -1,52288\)

Die Mantissen (0,47712) sind echte Dezimalbrüche. Sie werden aus der Logarithmentfel entnommen. Die Mantissen sind gleich für alle Zahlen (Numeri), die sich nur durch die Stellung des Kommas unterscheiden. Die im oben angeführten Beispiel angeführten Zahlen +1 und -2 werden als Kennziffern bezeichnet und sind der Mantisse hinzu bzw, abzuziehen. Da im Computerzeitalter de facto niemand mehr mit Logarithmentabellen arbeitet, werde ich zu den Themen Entlogarithmieren oder die Interpolation von Logarithmen nicht mehr weiter darauf eingehen.

\( y = ^{a}log (x)\)	\( x = a^{y} = ^{a}exp (y)\) ..... (exponentielle Schreibweise)	.......Logarithmusfunktion
\(  y= a^{x} = ^{a} exp (x)\)	\( x = ^{a}log (y) \) ................... (logarithmische Schreibweise)	........Exponentialfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion \( (= ^{a} exp)\),
die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion \( (= ^{a} log) \)

\( a^{^{a}log(x)} = {^{a}exp(^{a} log (x))} = x\)	......Exponentialfunktion, angewandt auf Logarithmusfunktion
\( ^{a}log(a^{x}) = {^{a}log(^{a}exp(x))} = x \)	.......Logarithmusfunktion, angewandt auf Eponentialfunktion

Wenn man die Umkehrfunktion auf die Funktion anwendet, erhält man das Argument der Funktion.
Argument = Ausdruck, der unter dem Funktionszeichen steht.

Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion müssen gleiche Basis haben (ist Voraussetzung für die Umkehrfunktion !)

Die gebräuchlichsten Logarithmensysteme:

a) Briggscher (dekadischer) Logarithmus : lg

\( 10^y = x \)......

\( {^{10}log (x)} = lg(x) = y \)

Basis = 10

\( 10^{-2} = 0,01 \) \( 10^{-1} = 0,1 \) \( 10^{0} = 1,0 \) \( 10^{1} = 10 \) \( 10^{2} = 100 \)

\( lg (0,01) = lg (10^{-2}) = -2 \) \( lg (0,1) = lg (10^{-1}) = -1 \) \( lg (1,0) = lg (10^{0}) = 0 \) \( lg (10) = lg (10^{1}) = 1 \) \( lg (100) = lg (10^{2}) = 2 \)

b) Natürlicher Logarithmus (Logarithmus Naturalis) : ln

\( e^y = x \)

\( ^elog(x) = ln (x) = y \)

Basis = e = 2,7182818

\( e^{-2} = 0,1353 \) \( e^{-1} = 0,3679 \) \( e^{0} = 1,0 \) \( e^{1} = 2,7182 \) \( e^{2} = 7,3889 \)

\( ln (0,1353) = ln (e^{-2}) = -2 \) \( ln (0,3679) = ln (e^{-1}) = -1 \) \( ln (1,0) = ln (e^{0}) = 0 \) \( ln (2,7182) = ln (e^{1}) = 1 \) \( ln (7,3889) = ln (e^{2}) = 2 \)

c) Binärer (dyadischer) Logarithmus : lb = ld

\( 2^y = x \)

\( ^2log(x) = ld(x) = y \)

Basis = 2

\(2^{-2} = 0,25\) \(2^{-1} = 0,5\) \(2^{0} = 1,0\) \(2^{1} = 2,0\) \(2^{2} = 4,0\)

\(ld(0,25) = ld(2^{-2}) = -2\) \(ld(0,5) = ld(2^{-1}) = -1\) \(ld(1,0) = ld(2^{0}) = 0\) \(ld(2,0) = ld(2^{1}) = 1\) \(ld(4,0) = ld(2^{2}) = 2\)

Rechenregeln für Logarithmen :

\( log (x*y) = log(x) + log(y)\) \( log (\frac{x}{y}) = log(x) - log(y)\) \( log ({x^n}) = n * log(x)\) \( log (\sqrt[n]{x}) = log(x^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} * log(x)\)

Das sind im Prinzip die Regeln, die für das Rechnen mit Potenzen gleicher Basis gelten. Durch das Logarithmieren stellt man nämlich Potenzen mit gleicher Basis her, wobei die Logarithmieren die jeweilige Hochzahl für die gewählte einheitliche Pasis darstellen.

Beweis:

\(  x = a^m \) .............. \( m = {^alog(x)}  \)

\(  y = a^n  \) ............... \( n = {^alog(y)}  \)

1) \(  x * y = a^m * a^n = a^{m+n} \)  |  \({^alog} \)

\( ^alog(xy) = m+n = {^alog(x)} +{^alog(y)} \)

2) \( \frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)  |  \(^alog \)

\( {^alog(\frac{x}{y})} = m - y = {^alog(x)} - {^alog(y)} \)

3) \( x^n = (a^m)^n = a^{n*m} \)  |  \( {^alog} \)

\( {^alog}(x^n) = n * m = n*{^alog(x)} \)

Beispiele:

a) \( log(\frac{7(ab^2)^3}{5c\sqrt[3]{d^2}}) = log(7) + log(ab^2)^3 - (log(5c) + log(\sqrt[3]{d^2})) = log(7) +3(log((a) + 2log(b)) - (log(5) + log(c)  + \frac{2}{3} log(d)) \)

b) \( log(\frac{2a \sqrt{b}}{3c^3}) = log(2) + log(a) + log(\sqrt{b})  - (log(3) + log(c^3)= log(2) + log(a) + \frac{1}{2}log(b) -(log(3) + 3log(c)) \)

c) \( 2log(a) -\frac{1}{2}log(b) - log(a+b) = log(a^2) - log(b^\frac{1}{2}) - log(a+b) = log(a^2) - log(\sqrt{b}) - log(a+b) = log(\frac{a^2}{\sqrt{b}(a+b)})\)

d) \( 2log(x) - \frac{1}{2}(log(x) + log(y)) - log(x^2) = log(x^2) - \frac{1}{2}log(xy) - log(x^2) = log(x^2) - log(\sqrt{xy}) - log(x^2) = -log(\sqrt{xy}) = log(\sqrt{xy}^{-1}) = log(\frac{1}{\sqrt{xy}}) \)

Sinn und Zweck des Logarithmierens:

Vereinfachen der Rechenoperationen durch Herbeiführen von Potenzen gleicher Basis.

Multiplizieren  → Addieren Dividieren        → Subtrahieren Potenzieren     → Multilizieren Radizieren       → Dividieren

\( a^m * a^n = a^{m+n}\) \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) \(  (a^m)^n = a^{m*n}\) \(  \sqrt[n]{a^m} = a^{m * \frac{1}{n}}\)

Anwendung der Logarithmen - Tafel:

Im Zeitalter von Computer und Taschenrechner haben Logarithmentabellen weitgehend an Bedeutung verloren. Wer sich dennoch dafür interessiert - weil er vielleicht noch an seinem liebgewonnen Rechenschieber hängt, sei auf die entsprechenden Wikipedia Seiten verwiesen.

Voraussetzung: Briggsche Logarithmen (= Zehnerlogarithmen)

1) Bestimmen von Logarithen (Logarithmieren):

Grundsatz: Numerus immer als Einergröße mal Zehnerpotenz darstellen:

Beispiele:

a) 
\(  lg 1,07 = lg(1,07 * 10^0) = lg 1,07 + lg 10^0 = 0,02938 \) .......... */Einerstelle ist Kennziffer */
\( lg 0,0107 = lg(1,07 * 10^{-2}) = lg 1,07 + lg 10^{-2} = 0,02938 -2\)
\(  lg 1070 = lg(1,07 * 10^{3}) = lg 1,07 + lg 10^{3} = 0,02938 +3\)

b)
\( lg 0,004 = lg(4 * 10^{-3}) = lg 4,0 + lg 10^{-3} = 0,60206 -3\)
\( lg 40 = lg(4 * 10^{1}) = lg 4,0 + lg 10^{1} = 0,60206 +1\)
\( lg 400 = lg(4 * 10^{2}) = lg 4,0 + lg 10^{2} = 0,60206 +2\)

Bestimmen von Numeri (Entlogarithmieren = Antilogarithmieren entspricht der Exponentialfunktion zur Basis 10):

Grundsatz:
Im Tabellenbuch wird die Mantisse aufgesucht und dazu dann der zugehörige Numerus, der wie beim Logarithmieren zweckmäßigerweise immer als Einergröße mal Zehnerpotenz (Verwertung) der Kennziffer) dargestellt.

Beispiele:

a) \( lg(x) = 3,47857 \) → \( x = 3,010 * 10^3 = 3010 \)
b) \( lg(x) = 0,00087 -5) \) → \( x = 1,00201 * 10^{-5} = 0,0000100201\)
c) \( lg(x) = 0,92952 \) → \( x = 8,502 * 10^{0} = 8,502\)

Liniare Interpolation von Logarithmen:

Dient zur vollen Ausnutzung der Genauigkeit der Logarithmentafeln. Die liniare Interpolation ist die Ermittlung von Zwischenwerten mit Hilfe der Überlegung, dass in dem kleinen Intervall zwischen benachbarten Tabellenwerten die Differenz des Arguments x der Funktion mit guter Näherung proportional ist der Differenz der Funktionswerte y.  Das bedeutet, die Funktion wird in diesem kleinen Intervall durch eine Gerade ersetzt.

a) Logarithmieren:

$\begin{array}{c|c} \text{Numerus n} & \text{Logarithmus lg}\\ \hline \text{2513,4} & \text{?}\\  \text{ } & \text {}\\ \text{2514} & \text{3,40037}\\ \text{2513 } & \text{-3,40019}\\\text{ } & \text{= 0,000018 → D}\\ \text{2513,4} & \text{3,40019}\\\\ \text{ }& \text{+0,00007 → d}\\ \text{ }& \text{= 3,40026}\end{array}$

\( d = \frac{D}{10} * E\) D → Differenz zweier aufeinanderfolgender Mantissen (Tafeldifferenz) d → Differenz zwischen der gesuchten und der nächstniedrigen Mantisse (eigene Differenz) E → Differenz zwischen dem gegebenen und dem nächstkleinereren Numerus.

b) Entlogarithmieren:

$\begin{array}{c|c} \text{n} & \text{lg}\\ \hline \text{?} & \text{2,57318}\\  \text{ } & \text {}\\ \text{374,2} & \text{- 2,57310}\\ \text{} & \text{= 0,00008 → d}\\\text{ } & \text{ }\\ \text{} & \text{ }\\ \text{ }& \text{2,57322}\\ \text{ }& \text{- 2,57310}\\ \text{} & \text{= 0,00012 → D}\\ \text{} & \text{}\\ \text{374,2} & \text{2,57318}\\ \text{+ 0,07 → E} & \text{ }\\ \text{= 374,27}& \text{}\\ \end{array}$

\( E = \frac{d}{\frac{D}{10}} = \frac{10 * d}{D}\) D → Differenz zwwischen nächsthöherer und nachstniederer Mantisse ( Tafeldifferenz), d → Differenz zwischen der gegebenen und der nächstniedrigen Mantisse (eigene Differenz). E → Differenz zwischen dem gesuchten und dem nächstniedrigen Numerus.

Rechnen mit Dekadischen Logarithmen:

a) \( \frac{1}{300} = ?\)

$\begin{array}{c|c} \text{n} & \text{lg}\\ \hline \text{1} & \text{0,00000}\\ \text{} & \text{+3}\\ \text{300} & \text{-2,47712}\\ {3,3333 * 10^{-3}} & \text{= 0,52288 - 3}\\ \end{array}$

Im Logarithmen - Bereich rechnet man so, dass nur positive Logarithmen und ganzzahlige positive oder negative Kennziffern erscheinen 
(= Binomcharakter der Logarithmen \( \widehat{=} \) Darstellen) Numeri als Einergröße mal Zehnerpotenz.

Zusammenhang zwischen den Logarithmensystemen:

Herleitung der Umrechnungsformel:

a) \( x = a^y   \) |  1) \( ^a log \)  2) \(^b log\)

1) \( {^a}log (x) = {^a}log (a^y) \)  \( {^a}log (x) = y  * {^a}log (a)\) \( y = {^a}log (x) \)

2) \( {^b}log (x) = {^b}log (a^y) \)  \( {^b}log (x) = y  * {^b}log (a)\) \( y = \frac{{^b}log (x)}{{^b}log (a)} \)

mit  (1)(2): \( {^a}log (x) = \frac{{^b} log (x)}{{^b}log (a)}\)

\( {^a}log (x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^b}log(x) \) ...................... Umrechnungsformel

b)
\( x = a^{{^a}log(x)} = b^{{^b}log(x)} | * {^b}log \)
\( {^b}log(a^{{^a}log(x)}) = {^b}log(b^{{^b}log(x)}\) 
\( {^a}log(x) * {^b}log(a) = {^b}log(x) * {^b}log(b) \)

\( {^a}log(x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^blog(x)}\)

c) Ansatz:
\( {^a}log(x) = k * {^b}log(x) \)
\( k = \frac{{^a}log(x)}{{^b}log(x)} == \frac{{^a}log(a)}{{^b}log(a)} = \frac{1}{{^b}log(a)}\)

\( {^a}log(x) = \frac{1}{{^b}log(a)} * {^blog(x)}\)

Logarithmen mit verschiedener Basis sind zueinander proprtional (Proportionalitätsfaktor k).

Beispiele:

a)  Basis: a = 10; b = e	\( ^{10}log(x) = \frac{1}{{^e}log^{10}} * {^e}log(x)\) \( lg(x) = \frac{1}{ln(10)} * ln(x) = \frac{1}{2,3026} * ln(x) = 0,4343 * ln(x)\)
b) Basis: a = e; b =10	\( {^e}log(x) = \frac{1}{{^{10}}log(e) * {^{10}}log(x)}\) \( ln(x) = \frac{1}{lg(e)} * lg(x) = \frac{1}{lg(2,712828)} * lg(x) = \frac{1}{0,4343} *lg(x) = 2,3026 * lg(x) \)
c) Basis: a = x = 2; b = 10	\( {^2}log(x) = k * {^10}log(x) \) \( ld(x) = k * lg(x) \) \( k = \frac{ld(x)}{lg(x)} == \frac{ld(2)}{lg(2)} = \frac{1}{0,30103} = 3,321928\)
d) Basis: a = 10; b = x =2	\( {^{10}}log(x) = k * {^2}log(x) \) \( k = \frac{^{10}log(x)}{^{2}log(x)} = \frac{lg(x)}{ld(x)} == \frac{lg(2)}{ld(2)} = \frac{0,30103}{1} = 0,30103\)

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Liebe Leser und Leserinnen - die hier im "Schnelldurchgang" abgearbeiteten sieben Grundrechnungsarten sind ein essentieller Teil der Mathematik.  Wer sich für Mathematik interessiert oder vielleicht noch tiefer in die Mathematik einsteigen möchte, sollte die hier angeführten Grundregeln nicht nur gelesen und verstanden haben, sondern vorzugsweise auch jederzeit anwenden können.

Vom "Nichts" zur "Null", die Erfolgsgeschichte der Null.

Die Entstehung der Ziffer 0: Eine Reise durch die Geschichte der Mathematik

Die Ziffer 0 ist ein grundlegender Bestandteil der Mathematik und des modernen Lebens. Doch ihre Entstehung und Akzeptanz waren ein langer Prozess, der von kulturellen, wissenschaftlichen und philosophischen Entwicklungen geprägt war. Die Geschichte der Null zeigt, wie eine abstrakte Idee zu einem mächtigen Werkzeug wurde, das die Mathematik und die Menschheit revolutionierte.

Die Null in der Antike: Ein Platzhalter entsteht

Die ersten Spuren der Null finden sich in Mesopotamien, etwa um 300 v. Chr. Die Babylonier nutzten ein Symbol – zwei Keilstriche –, um leere Stellen in ihrem Zahlenwert darzustellen. Zum Beispiel wurde zwischen 2 und 20 durch dieses Symbol unterschieden. Diese frühe Null diente jedoch nur als Platzhalter und hatte keinen eigenen Wert. Sie wurde nicht als Zahl betrachtet, sondern lediglich als praktisches Hilfsmittel. Auch andere Kulturen entwickelten ähnliche Konzepte. Die Maya in Mittelamerika verwendeten etwa ab dem 4. Jahrhundert n. Chr. ein Schneckensymbol, um Null im Rahmen ihres Kalendersystems darzustellen. Doch wie bei den Babyloniern war diese Null eher ein Konzept der Leere als eine echte Zahl.

Die Null in Indien: Eine Zahl wird geboren

Die Null als eigenständige Zahl entstand erstmals in Indien. Etwa im 5. Jahrhundert n. Chr. entwickelte sich hier ein revolutionäres Verständnis der Null. Indische Mathematiker erkannten, dass die Null nicht nur eine Abwesenheit oder Lücke darstellt, sondern eine Zahl mit eigenen Eigenschaften ist. Der Mathematiker Brahmagupta (598–668 n. Chr.) war der erste, der die Null systematisch beschrieb. In seinem Werk Brahmasphutasiddhanta legte er Regeln für Rechenoperationen mit der Null fest. Brahmagupta betrachtete die Null als Ergebnis einer Subtraktion: Wenn man eine Zahl von sich selbst abzieht, bleibt „nichts“ übrig. Dieses „Nichts“ wurde als Null definiert. Brahmagupta formulierte grundlegende Rechenregeln, wie etwa: 
\(a+0=a\)
\(a−0=a\)
\(a⋅0=0\)
Obwohl er auch versuchte, die Division durch Null zu erklären, blieb dieses Problem ungelöst und wurde später von anderen Mathematikern aufgegriffen.

Die Verbreitung der Null: Von Indien in die Welt

Das indische Zahlensystem, einschließlich der Null, gelangte über Handels- und Kulturkontakte in die islamische Welt. Arabische Mathematiker wie Al-Chwarizmi und Al-Kindi übernahmen die Null und integrierten sie in ihre Werke. Al-Chwarizmi, der im 9. Jahrhundert lebte, schrieb Abhandlungen über das indische Zahlensystem und prägte damit die Verbreitung dieser Ideen. Von der islamischen Welt aus erreichte die Null Europa. Im 12. Jahrhundert wurden arabische mathematische Texte ins Lateinische übersetzt. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci stellte das indisch-arabische Zahlensystem in seinem Buch Liber Abaci (1202) vor. Fibonacci zeigte die Vorteile der Null und des Dezimalsystems gegenüber dem damals in Europa verwendeten römischen Zahlensystem auf. Dennoch dauerte es mehrere Jahrhunderte, bis sich die Null in Europa vollständig durchsetzte.

Die Null als philosophisches Konzept

Die Akzeptanz der Null war nicht nur eine mathematische, sondern auch eine philosophische Herausforderung. In vielen Kulturen wurde die Null mit dem „Nichts“ assoziiert, einem Konzept, das oft als bedrohlich oder unverständlich galt. In der westlichen Philosophie und Theologie, die von antiken griechischen Denkern wie Aristoteles beeinflusst war, wurde die Idee des Nichts lange Zeit abgelehnt.
Indien hingegen hatte eine andere Perspektive auf das Nichts. In den indischen Religionen und Philosophien spielte das Konzept der Leere (Shunyata) eine wichtige Rolle, was die Akzeptanz der Null als Zahl erleichterte.

Die Null in der Moderne

Mit der Verbreitung der Null wurde sie zur Grundlage moderner Mathematik und Technik. Die Null ermöglichte die Entwicklung des Dezimalsystems, das präzise und komplexe Berechnungen vereinfachte. Sie wurde zu einem zentralen Element der Algebra, der Infinitesimalrechnung und schließlich der Informatik. Im binären Zahlensystem bildet die Null zusammen mit der Eins die Grundlage für die Funktionsweise moderner Computer.

Fazit 

Die Entstehung der Ziffer 0 war ein langer und faszinierender Prozess, der die Denkweise der Menschheit grundlegend veränderte. Von ihren Anfängen als Platzhalter in Babylonien bis zu ihrer Einführung als eigenständige Zahl in Indien und ihrer Verbreitung in die westliche Welt zeigt die Geschichte der Null, wie revolutionär abstrakte Ideen sein können. Die Null ist heute unverzichtbar und ein Symbol für die Fähigkeit des Menschen, über das Konkrete hinauszugehen und das Abstrakte zu erfassen.

Zahlensysteme, Zahlen und Zahlenarten

Liebe Leserinnen und Leser des 1 A Telefon Mathe Blog’s. Um in das Thema Mathematik einsteigen zu können, macht es Sinn sich vorab schon einmal Gedanken über Begriffe wie Zahlensysteme, Zahlen oder auch Zahlenarten zu machen. Was vielleicht im ersten Moment etwas kompliziert klingt sind aber nur Definitionen, damit sichergestellt wird, dass alle vom Selben reden.

Ein Zahlensystem ist ein mathematisches System, das zur Darstellung und Verarbeitung von Zahlen verwendet wird. Es definiert, wie Zahlen dargestellt, interpretiert und in Berechnungen verwendet werden. Es gibt verschiedene Arten von Zahlensysteme, die jeweils unterschiedliche Basen und Regeln haben. Das wahrscheinlich für uns alle geläufigste Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Begründet wurde es durch indische Mathematiker und später von arabischen Mathematikern übernommen. Diese verbreiteten durch ihre Schriften ihr Wissen und so gelangten aus dem damaligen arabischen Reich, über das spanische Andalusien, Übersetzungen nach Europa. Bis in das 14. Jahrhundert wurden in Europa noch mit den recht unhandlichen römischen Zahlen gearbeitet. Darüber hinaus hatte das röm. Zahlensystem noch weitere Schwächen, da es weder negative Zahlen noch die Zahl Null kannte und somit für algebraische Berechnung nicht geeignet war. Ebenso war es mit dem Umgang großen Zahlen nicht ausgelegt. Im 15. Jahrhundert hat dann Adam Ries mit seinen in deutscher Sprache erschienen Werken entscheidend dazu beigetragen, dass die unhandliche römische Zahlendarstellung durch die nach dem Stellenwertsystem strukturierten indisch- arabischen Zahlzeichen ersetzt wurden. Herrschte anfänglich noch Skepsis, haben sich aber Kaufleute, Geldwechsler – die Vorläufer der heutigen Banker, schnell mit den Vorzügen der neuen "Rechenkünste" angefreundet - konnten doch auch negative Zahlen (Schulden) abgebildet, bzw. damit gerechnet werden.
Das geflügelte Wort „das macht dann nach Adam Riese ……“ zeigt offensichtlich die Begeisterung für die arabischen Zahlen und das dezimale Zahlensystem.

Erklärung des Stellenwertsystems anhand des Dezimalzahlensystems.

$$ \begin{array}{c|c} 10^3 & 10^2 & 10^1 & 10^0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6 & 6 \\ 7 & 7 & 7 & 7 \\ 8 & 8 & 8 & 8 \\ 9 & 9 & 9 & 9 \\ \end{array} $$
Dem entsprechend setzt sich z.B. die Zahl \(257\)_DEC wie folgt zusammen. \( 0*10^3 + 2*10^2 + 5*10^1 + 7*10^0 =257 \)_DEC

Wieso sich gerade das Dezimalsystem derartig großer Beliebtheit erfreut und sich auch durchsetzte, könnte daran liegen, dass bereits in den Anfängen der Mathematik und auch heute noch Menschen gerne ihre zehn Finger beim Rechnen zur Hilfe nehmen.

Auch wenn das Dezimalsystem das gebräuchlichste Zahlensystem ist, ist es noch lange nicht das älteste Zahlensystem. Bereits 4000 v.Chr. – also noch vor der ägyptischen Hochkultur, hatten die Sumerer ein 60iger Zahlensystem verwendet. Das heißt es konnten in der Einerstelle bereits 60 verschiedene Zahlenwerte dargestellt werden. Dieses Zahlensystem begleitet uns heute noch im alltäglichen Leben. Ein Blick auf die Uhr zeigt, dass 1 Stunde in 60 Minuten und 1 Minute in 60 Sekunden unterteilt ist. Aber auch das Ziffernblatt der Uhr ist in 12 Stunden, also ein Fünftel von Sechzig, eingeteilt. Ebenso wird der Kreis in 360 Grad, ein Vielfaches von 60 unterteilt. Auch die Unterteilung in Gradminuten und Grandsekunden erfolgt einer 60iger Struktur.

Zumindest die letzten 70 Jahre hat das binäre Zahlensystem eine bedeutende Rolle erlangt. Entwickelt wurde es im 17. Jahrhundert von dem Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz. Obwohl es zu dieser Zeit weder Rechenmaschinen geschweige noch Computer gab, erkannte Leibniz die Vorteile des binären Zahlensystems in Zusammenhang mit den zu diesem Zeitpunkt noch nicht erfundenen maschinellen Rechenmaschinen. Leibniz war es dann auch der die erste mechanische Rechenmaschine - welche die vier Grundrechnungsarten beherrschte, gebaut hat. 
Wie der Name schon erahnen lässt, unterscheidet das binäre Zahlensystem nur zwischen den beiden Werten 0 und 1 – was für mechanische oder auch elektrische Systeme enorme Vorteile bietet. Damit große Zahlen dargestellt werden können, wird dadurch zwangsläufig eine hohe Anzahl an Stellen benötigt. Das bringt den Nachteil einer schwereren Lesbarkeit der Zahlen mit sich. Um dem entgegen zu wirken wurden vierstellige Binärzahlen zu einem „Quadrupel“ (lat. quadruplus »vierfach«) zusammengefügt. Damit war dann auch das Hexadezimalsystem mit der Basis 16 geschaffen.

Wird mit unterschiedlichen Zahlensystemen gearbeitet – z.B die Eingaben in einen Taschenrechner erfolgen Dezimal, Berechnungen in der Arithmetic Unit erfolgen binär und die Rechenergebnisse sollen für den Anwender wieder in leicht lesbaren Dezimalzahlen erfolgen, muss zwischen den Zahlensystemen umgerechnet werden.
Ein Beispiele hiezu:

$$ \begin{array}{c|c} 2^7 & 2^6 & 2^5 & 2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $$
Umrechnung einer Binärzahl in eine Dezimalzahl am Beispiel \(01101100\)_BIN \( 0*2^7 + 1*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 = 64 + 32 + 8 + 4 = 108 \)_DEC

Nicht weniger wichtig ist das Umrechnen von Dezimal in Binärzahlen. Dazu wird die umzurechnende Dezimalzahl solange durch die Basis 2 geteilt bis schlusssendlich die ursprüngliche Dezimalzahl noch den Wert 0 hat. Darüber hinaus werden mittels Modulo Operationen die Restwerte fortlaufend bestimmt. Ein Beispiel hiezu:

108_DEC Division durch  2  ; Modulo = 0 ; LSB (lowest significant bit)
054_DEC Division durch  2  ; Modulo = 0
027_DEC Division durch  2  ; Modulo = 1
013_DEC Division durch  2  ; Modulo = 1
006_DEC Division durch  2  ; Modulo = 0
003_DEC Division durch  2  ; Modulo = 1
001_DEC Division durch  2  ; Modulo = 1
000_DEC Division durch  2  ; Modulo = 0 ; MSB (most significant bit)
Das Ergebnis lautet somit \(01101100\)_BIN

Das Hexadezimale Zahlensystem basiert auf dem Binärenzahlensystem. Der besseren Lesbarkeit wegen wurden vier binäre Stellen zusammen gefasst. Mit vier Binärstellen kann ein Wertbereich von 0 - 15 also 16 unterschiedliche Zahlenwerte dargestellt werden. Besteht Bedarf noch größere Zahlen darzustellen, müssen analog zu den andren Zahlensystemen weitere Stellen vorangestellt werden.

Zusammenhang zwischen Binär- und Hexadezimalzahlen.

$$\begin{array}{cccc|cr} 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 & \text{Hexadec}\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 &\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 &\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 &\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 &\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 5 &\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 6 &\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 7 &\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 8 &\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 9 &\\ 1 & 0 & 1 & 0 & A &\\ 1 & 0 & 1 & 1 & B &\\ 1 & 1 & 0 & 0 & C &\\ 1 & 1 & 0 & 1 & D &\\ 1 & 1 & 1 & 0 & E &\\ 1 & 1 & 1 & 1 & F &\\ \end{array} $$

Wer sich die vierstelligen Binärzahlen mit den dazugehörigen Hexadezimalwerten nicht auswendig lernen möchte, kann sich natürlich auch aus der oben ageführten Tabelle ablesen. Auch das kovertieren einer Dezimal- in eine Hexadezimalzahl folgt der selben Methodik, wie der Umstellung vom dezimalen in das binäre Zahlensystem. Der einzige Unterschied liegt darin, dass durch 16 dividiert wird und natrlich können Modulo Werte zwischen "0" und "F" annehmen.
In dem nachfolgend angeführten Beispiel wird die Dezimalzahl 108 auf Hexadezimal umgerechnet.

108_DEC Division durch 16  ; Modulo = 12 = C_HEX 
006_DEC Division durch 16  ; Modulo = 06 = 6_HEX
000DEC 
Nachdem die Hexadezimalzahlen in die richtige Reihenfolge gebracht werden, lautet das Ergebnis  6C_HEX.

Ein weiteres Zahlensystem das sich aus der Bündelung von 3 Binärstellen ergibt, ist das Octalsystem. Es können damit in der Einerstelle lediglich 8 Zahlenwerte dargestellt werden. Das Octalsystem hat heute aber de facto keine Bedeutung mehr.

In der Mathematik werden zwischen verschiedenen Zahlenarten unterschieden. Im Laufe der Entwicklungsgeschichte mussten um die verschiedenen Berechnungen durchführen zu können die Zahlenarten immer wieder erweitert werden und selbst heute ist dieser Prozess noch nicht abgeschlossen.
Die wohl älteste Zahlenart sind die natürlichen Zahlen. $\mathbb{N} = {\{1,2,3,......\infty}\}$ Ob die Zahl 0 auch dazugehört ist umstritten. Die Zahl 0 wurde erst viel später als Zahl eingeführt. Am Anfang wurde die 0 in der arabischen Mathematik noch als Punkt später als kleiner Kringel notiert und erst als der 0 auch der Wert 0 zugewiesen wurde, hat sie die Größe und Bedeutung einer Zahl bekommen. Natürliche Zahlen sind in erste Linie dazu da um Dinge, Sachen und Häufigkeiten zu zählen. Mit den natürlichen Zahlen gibt es aber Einschränkungen. So sind beispielsweise Subtraktionen bei der eine größere natürliche Zahl von einer kleineren natürlichen Zahl subtrahiert werden soll nicht möglich. Um dieses Problem zu lösen wurden die ganzen Zahlen eingeführt. $\mathbb{Z} = {\{-\infty.....,-3,-2,-1,0,1,2,3,......\infty}\}$ Zu den ganzen Zahlen gehören neben den natürlichen Zahlen und der Null noch die ganzen Zahlen mit negativem Vorzeichen an. Rechnungen wie \({5}\over{2}\) - also Brüche die nicht als ganze Zahl angeschrieben werden können, machten immer noch Schwierigkeiten. Der Zahlenraum musste mit den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ erweitert werden. Zu den Rationalen Zahlen zählen auch die ganzen Zahlen und auch Brüche die wiederum aus ganzen Zahlen bestehen. Aber auch eine Kommazahl kann eine rationale Zahl sein, sofern sie auch als Bruch geschrieben werden kann.

$\mathbb{I} = {\{\pi, \mathrm{e}, \sqrt{2}, \sqrt{5}, etc.....}\}$

Irrationale Zahlen $\mathbb{I}$ können nicht als Bruch dargestellt werden, haben eine unendliche Zahl an Nachkommastellen und weisen keine Periodizität auf. Der absolut genaue Wert einer irrationalen Zahl ist somit unbekannt, da es sich nur um eine Näherung handelt. Es gibt unendlich viele Irrationale Zahlen, da zwischen ganzen Zahlen Zahlenwerte mit unendlich vielen Nachkommastellen möglich sind.  Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ zusammen mit den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ergeben dann die reelle Zahlen $\mathbb{R}$.

Waren bis hierher alle Erweiterungen der Zahlenarten lediglich Ergenzungen zu den natürlichen Zahlen und somit auf dem reellen Zahlenstrahl abbildbar, handelt es sich bei den imaginären Zahlen um eine neue Zahlenart die nicht mehr auf der bestehenden reellen Zahlenebene darstellbar sind und somit einen neuen zusätzlichen Zahlenstrahl erfordert, der auch als imaginärerer Zahlenstrahl bezeichnet wird. Notwendig wurde diese Maßnahme nachdem die Gleichung ${x}^2 = -1$ nicht lösbar ist. Sowie reelle Zahlen aus der Einheit 1 hervorgehen wurde bei den imaginären Zahlen aus der oben angeführten Gleichung die imaginäre Einheit  ${i}^2 = -1$ definiert. Oft findet man für die imaginäre Einhait auch die Schreibweise ${i} = \sqrt{-1}$.   Beispiel einer imaginären Zahl. $ \sqrt{-25} = \sqrt{-1  * 25} = \sqrt{-1} * {5} = {i5} $

Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Da die Quadrate aller reellen Zahlen größer gleich 0 sind, kann die Lösung der Gleichung ${x^2} = -1$ keine reelle Zahl sein.  Es wird eine neue Zahl benötigt die üblicherweise mit \(i\), bzw. imaginäre Einheit ${i} =\sqrt{-1}$ bezeichnet wird. Komplexe Zahlen werden als Summe \( a +b *i\) definiert, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die vorhin definierte imaginäre Einheit representiert. Auf die so definierten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei i wie eine konstante verwendet wird und ${i^2}$ durch $-1$ ersetzt werden kann und umgekehrt. Dargestellt werden die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Eine komplexe Zahl wird durch zwei - einen reellen und einen imaginären Zahlenwert beschrieben. Neben der kartesischen Schreibweise können komplexe Zahlen auch in einer trigonometrischen, sowie exponentiellen Schreibweise dargestellt werden.

War bis hier her noch alles "Kindergeburtstag", geht es ab jetzt an's Eingemachte

Hyperkomplexe Zahlen $\mathbb{H}$

sind eine Erweiterung der kompexen Zahlen $\mathbb{C}$ und sind eine Verallgemeinerung der reellen und komplexen Zahlen, die über algebraische Strukturen hinausgehen, um eine Vielzahl von Zahlenräumen zu beschreiben. Sie finden in verschiedenen mathematischen und physikalischen Anwendungen Verwendung. Zu den bekanntesten hyperkomplexen Zahlensystemen gehören die Quaternionen und die Oktonionen, aber es gibt viele andere, wie etwa die Clifford-Algebren.

Struktur und Eigenschaften

1. Quaternionen:
   • Einführung:  William Rowan Hamilton entwickelte die Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen.
   • Darstellung: Sie haben die Form \(q=a+bi+cj+dk\), wobei \(a,b,c,d\) reelle Zahlen sind und \(i,j,k\) Einheitsvektoren darstellen, die die Eigenschaften \(i^2=j^2=k^2=ijk=−1\) erfüllen.
   • Besonderheit: Quaternionen sind nicht kommutativ, d.h., \(ij≠ji\).
2. Oktonionen: 
   • Einführung: John Graves und Arthur Cayley entwickelten die Oktonionen.
   • Darstellung: Sie bestehen aus acht Dimensionen und erweitern die Quaternionen. Auch sie sind nicht assoziativ, d.h., \((xy)z≠x(yz)\).
3. Clifford-Algebren:
   • Struktur: Diese Algebren verallgemeinern die komplexen Zahlen und Quaternionen, indem sie zusätzliche geometrische Informationen kodieren, insbesondere für Anwendungen in der Differentialgeometrie und Physik
   .
4. Andere Systeme: Dazu gehören die Sedenionen und andere n-dimensionale Erweiterungen.

Anwendungen hyperkomplexer Zahlen

1. Physik:
   • Quantenmechanik: Quaternionen wurden historisch für die Beschreibung der Spin-Physik und die Schrödingergleichung verwendet.
   • Relativitätstheorie: Clifford-Algebren spielen eine zentrale Rolle in der Beschreibung von Raum-Zeit-Strukturen.
   • Strömungsmechanik: Quaternionen werden bei der Beschreibung der Orientierung und Drehung von starren Körpern verwendet.
2. Computergrafik:
   • Quaternionen sind nützlich für die effiziente Darstellung und Interpolation von Rotationen (z.B. bei Animationen und Simulationen).
3. Maschinelles Lernen und Signalverarbeitung:
   • Hyperkomplexe Zahlen wie Quaternionen und Clifford-Algebren finden Anwendung bei neuronalen Netzen und der Verarbeitung von Signalen mit mehreren Dimensionen (z.B. Farbbilder oder 3D-Daten).
4. Mathematik:
   • Topologie und Algebra: Hyperkomplexe Zahlenmodelle werden verwendet, um höherdimensionale Räume zu studieren.
   • Zahlentheorie: Sie helfen bei der Untersuchung von allgemeinen Zahlensystemen.

Hyperkomplexe Zahlen erweitern die Möglichkeiten, mathematische Phänomene zu modellieren und zu analysieren, insbesondere wenn höhere Dimensionen oder spezielle algebraische Strukturen erforderlich sind. 

Römisches Zahlensystem

Zum Schluß gibt es in einem "cool down" noch die römischen Zahlen.  Auch wenn sie heute in der Mathematik bedeutungslos erscheinen mögen, sind sie doch noch auf den Zifferblätter alter Uhren oder auch in Büchern in denen beispielsweise, die einzelnen Kapitel in röm. Zahlen durchnummeriert sind, anzutreffen. Grundsätzlich bestehen die röm. Ziffern  aus 7 Zeichen $\mathrm{M, D, C, L, X, V, I}$. Die Ziffer 0 wie es sie im indisch-arabischen Dezimalsystem gibt, ist im röm. Zahlensystem nicht vorhanden. War etwas "0", also nicht vorhanden wurde die entsprechende Stelle einfach leer gelassen. Später wurde ein waagrechter Strich (Minuszeichen) geschrieben. Diese Schreibweise hat sich beispielsweise im Apothekerwesen bis weit in das 20. Jahrhunder gehalten. Da Systembedingt anfänglich mit den 7 verfügbaren Zeichen nur Zahlen bis max. 3999 abgebildet werden konnten $\mathrm{MMMCMXCIX}$, wurden später noch eine Reihe weniger bekannte Sonderzeichen, zu den bestehenden Symbolen hinzugefügt und somit ermöglicht auch noch größere Zahlen schreiben zu können.
Gerechnet wurde in dem links beginnend die einzelnen Zahlenwerte aufaddiert wurden.

Zum besseren Verständnis zwei Zahlenbeispiele. Die Jahreszahl 1958 in der römischer Schreibweise $\mathrm{MCMLVIII}$, sowie die römische Jahreszahl $\mathrm{MMXXIV}$ in arabischer Schreibweise 2024.

Römische Zahlentabelle: 

$\begin{array}{c|c} \text{Großbuchstabe} & \mathrm{I} & \mathrm{V} & \mathrm{X} & \mathrm{L} & \mathrm{C} & \mathrm{D} & \mathrm{M} & \mathrm{ↁ} & \mathrm{ↂ} & \mathrm{ↇ} & \mathrm{ↈ}\\ \hline \text{Wert} & 1 & 5 & 10 & 50 & 100 & 500 & 1.000 & 5.000 & 10.000 & 50.000 & 100.000\\ \end{array}$

Hier noch die Zuweisungstabelle für die Zahlenwerte 1 bis 20.

$\begin{array}{c|c} \text{röm.Zahl} & \text{arab.Zahl}\\ \hline \mathrm{I} & 1\\ \mathrm{II} & 2\\ \mathrm{III} & 3\\ \mathrm{IV} & 4\\ \mathrm{V} & 5\\ \mathrm{VI} & 6\\  \mathrm{VII} & 7\\ \mathrm{VIII} & 8\\ \mathrm{IX} & 9\\ \mathrm{X} & 10\\ \mathrm{XI} & 11\\ \mathrm{XII} & 12\\ \mathrm{XIII} & 13\\  \mathrm{XIV} & 14\\ \mathrm{XV} & 15\\ \mathrm{XVI} & 16\\ \mathrm{XVII} & 17\\ \mathrm{XVIII} & 18\\ \mathrm{XIX} & 19\\ \mathrm{XX} & 20\\ \end{array}$

GNU